Probabilidade: como calcular, exemplos e exercícios
Probabilidade é uma medida da chance de um acontecimento. Se uma caixa tem 10 fichas com a mesma chance de sair e 3 são verdes, a probabilidade de tirar uma ficha verde é 3 em 10, ou 30%.
Em alguns problemas, basta contar as possibilidades. Em outros, uma informação nova ou um primeiro sorteio muda a conta. Veja como identificar cada situação.
Experimento aleatório, espaço amostral e evento
Imagine que vamos sortear um dos cartões numerados de 1 a 10. Antes do sorteio, sabemos quais cartões estão na caixa, mas não sabemos qual deles vai sair. Esse procedimento é um experimento aleatório.
Espaço amostral (Ω)
É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
Aqui, há 10 resultados possíveis.
Evento (A)
É o conjunto dos resultados que satisfazem a condição da pergunta.
Para “sair múltiplo de 3”, há 3 resultados favoráveis.
Um mesmo sorteio, três tipos de evento
Sair o número 12.
Não há cartão 12 na caixa.
Sair um múltiplo de 3.
Pode sair 3, 6 ou 9.
Sair um número de 1 a 10.
Qualquer cartão atende à condição.
Uma chance de 30% não garante exatamente 3 ocorrências a cada 10 sorteios. Ela descreve a probabilidade de cada tentativa nas condições do modelo.
Como calcular uma probabilidade
Quando todos os resultados do espaço amostral têm a mesma chance, eles são equiprováveis. Nesse caso, divida a quantidade de resultados que satisfazem a condição pela quantidade total de resultados possíveis.
Aqui, n(A) é a quantidade de resultados favoráveis e n(Ω) é a quantidade total de resultados possíveis.
Exemplo resolvido — Sorteio de um múltiplo de 3
Um cartão é sorteado ao acaso entre os 10 cartões da caixa. Qual é a probabilidade de sair um múltiplo de 3?
- Conte todos os resultados possíveis. São 10 cartões, todos com a mesma chance.
- Separe os favoráveis. São os cartões 3, 6 e 9, portanto 3 resultados.
- Divida e converta para porcentagem.
Dividimos 3 por 10 para obter 0,3. Multiplicamos esse decimal por 100 para escrever 30%.
Uma caixa com 3 fichas verdes e 7 brancas tem duas cores, mas as cores não têm a mesma chance. Conte as 10 fichas equiprováveis. A probabilidade de verde é 3 em 10, ou 30%.
Evento complementar: a chance de não acontecer
O complementar de A, indicado por Ac, reúne os resultados em que A não acontece. As duas probabilidades somam 1, ou 100%.
Exemplo resolvido — Não sair um múltiplo de 3
No sorteio dos cartões, a chance de sair múltiplo de 3 é 30%. Para descobrir a chance de não sair, descontamos essa parte de 100%.
Essa regra também ajuda em perguntas com “pelo menos um”. Podemos calcular a chance de “nenhum” e subtrair de 1. Vamos aplicar isso depois, com duas retiradas.
Probabilidade teórica e experimental
Teórica
Vem de um modelo. Em uma moeda equilibrada, cara e coroa têm a mesma chance.
Experimental
Vem dos resultados observados. Se saíram 11 caras em 20 lançamentos, a frequência relativa foi:
A frequência observada pode variar de uma série de lançamentos para outra. Sob condições estáveis, aumentar a quantidade de tentativas tende a tornar a estimativa mais estável.
Exemplo resolvido — Acertos no treino
Um jogador acertou 36 de 50 arremessos. Qual é a frequência relativa de acertos?
- Conte os acertos observados: 36.
- Divida pelo total de tentativas: 50.
Esse resultado descreve o treino observado. Pode estimar a chance de acerto em condições semelhantes, mas não garante 72 acertos nos próximos 100 arremessos.
União de eventos: probabilidade de A ou B
Em probabilidade, “A ou B” normalmente inclui três situações. Pode acontecer só A, só B ou os dois. A união A ∪ B reúne essas situações. A interseção A ∩ B reúne apenas os resultados em que os dois eventos ocorrem.
Ao somar P(A) e P(B), os resultados em comum entram duas vezes. Subtraímos a interseção para contá-los uma só vez.
Exemplo resolvido — Leitura ou ciências
Uma turma tem 30 estudantes. São 12 no clube de leitura, 10 no de ciências e 4 em ambos. Sorteamos um estudante. Qual é a chance de ele estar em pelo menos um desses clubes?
- Some os participantes dos dois clubes. Temos 12 + 10 = 22.
- Desconte a repetição. Os 4 de ambos foram contados duas vezes. O total de pessoas distintas é 22 − 4 = 18.
- Divida pelo total da turma.
E se os eventos não tiverem resultados em comum?
Quando dois eventos não podem ocorrer juntos, são mutuamente exclusivos. Ao tirar um único cartão, sair 2 e sair 9 são eventos desse tipo. Como a interseção é vazia, basta somar as probabilidades dos dois eventos.
Probabilidade condicional: quando já sabemos algo
Na probabilidade condicional, uma informação restringe os resultados que ainda podem acontecer. Escrevemos P(A | B) e lemos “probabilidade de A dado B”. A condição B precisa ter probabilidade maior que zero.
Exemplo resolvido — Sabendo que está em ciências
Na mesma turma, sabemos que o estudante sorteado está no clube de ciências. Qual é a chance de ele também estar no clube de leitura?
| Participação | Leitura | Não faz leitura | Total |
|---|---|---|---|
| Ciências | 4 | 6 | 10 |
| Não faz ciências | 8 | 12 | 20 |
| Total | 12 | 18 | 30 |
- Restrinja o grupo. A informação leva à linha “Ciências”, com 10 estudantes.
- Conte quem atende à pergunta nesse grupo. São os 4 que também fazem leitura.
- Divida 4 por 10.
O denominador mudou. Antes, o sorteio considerava a turma de 30. Com a condição, consideramos os 10 estudantes de ciências.
Independência e sorteios sucessivos
Para calcular a probabilidade de A e B, multiplicamos a chance de A pela chance de B depois de saber que A aconteceu. A regra do produto é P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A), quando P(A) é maior que zero.
Se saber que A ocorreu não muda a probabilidade de B, os eventos são independentes. Nesse caso, usamos P(A) × P(B). Dois eventos mutuamente exclusivos com probabilidade positiva são dependentes, pois a ocorrência de um elimina a chance de ocorrer o outro.
Exemplo resolvido — Duas fichas verdes
Uma caixa tem 4 fichas verdes e 2 amarelas, todas com a mesma chance de sair. Queremos tirar duas verdes em sequência. A primeira chance é a mesma nos dois casos, mas a segunda depende de devolvermos ou não a ficha.
Com reposição
Devolvemos a primeira ficha e misturamos. Na segunda retirada, há novamente 4 verdes entre 6 fichas.
As retiradas são independentes nas condições descritas.
Sem reposição
Depois de tirar uma verde, ficamos com 3 verdes entre 5 fichas. A segunda chance muda.
A segunda retirada depende do resultado da primeira.
Uma ficha de cada cor: conte as duas ordens
Agora queremos uma verde e uma amarela, sem reposição. Há dois caminhos possíveis.
Esses caminhos não ocorrem ao mesmo tempo em um mesmo par de retiradas. Por isso, somamos as duas probabilidades.
Pelo menos uma verde: calcule a chance de nenhuma
Voltamos às duas retiradas com reposição. “Pelo menos uma verde” inclui uma verde ou duas verdes.
| Sequência de cores | Pelo menos uma verde? |
|---|---|
| Verde → verde | Sim |
| Verde → amarela | Sim |
| Amarela → verde | Sim |
| Amarela → amarela | Não |
O único caminho que fica de fora é tirar duas amarelas.
As quatro sequências de cores não são equiprováveis. Há mais fichas verdes que amarelas na caixa. Não podemos dividir 3 sequências favoráveis por 4.
Probabilidade e análise combinatória
Quando seria trabalhoso listar todas as possibilidades, use um método de contagem. A combinação conta grupos em que a ordem não importa. Escolher Ana e Beto para formar uma dupla dá o mesmo grupo que escolher Beto e Ana.
Exemplo resolvido — Sorteio de uma dupla
Um grupo de 8 pessoas tem 5 que já participaram de uma oficina. Sorteamos uma dupla ao acaso. Qual é a chance de as duas pessoas já terem participado?
- Conte todas as duplas. Para escolher duas pessoas em ordem, temos 8 × 7 possibilidades. Cada dupla aparece duas vezes, como Ana–Beto e Beto–Ana. Dividimos por 2.
- Conte as duplas favoráveis. Use apenas as 5 pessoas que já participaram, dividindo novamente pelas duas ordens.
- Divida os grupos favoráveis pelo total de grupos.
Se a pergunta pede exatamente certa quantidade de sucessos em tentativas independentes com a mesma chance, a contagem das ordens possíveis também entra na conta. É o caso da probabilidade binomial, desenvolvida nas aulas de aprofundamento ao fim da página.
Qual regra usar em cada caso?
| Situação | Como começar |
|---|---|
| Resultados com chances iguais | Conte os favoráveis e divida pelo total. |
| A ou B | Some as chances e desconte a parte em comum. |
| A, sabendo que B ocorreu | Restrinja as possibilidades aos resultados de B. |
| A e B, em sequência | Multiplique pela chance da segunda etapa nas condições da primeira. |
| Pelo menos um | Veja se é mais fácil calcular a chance de nenhum. |
Exercícios de probabilidade
Tente escrever o que entra na conta antes de calcular. Depois, abra a resolução correspondente para conferir seu raciocínio.
Cálculo básico e interpretação
- Uma caixa contém 12 cartões iguais numerados de 1 a 12. Um cartão é sorteado ao acaso. Qual é a probabilidade de sair um múltiplo de 4? Dê a resposta como fração e porcentagem.
- Uma roleta equilibrada tem 8 setores iguais, dos quais 3 são roxos. Qual é a probabilidade de a seta parar em um setor que não seja roxo?
- Em um teste com 80 sementes, 68 germinaram. Qual foi a frequência relativa de germinação? Expresse-a como porcentagem.
União, condição e sorteios sucessivos
- De 40 estudantes, 16 escolheram música, 14 escolheram teatro e 6 escolheram as duas oficinas. Qual é a chance de um estudante sorteado participar de pelo menos uma delas?
- Na mesma turma, sabe-se que o estudante sorteado escolheu teatro. Qual é a chance de ele também ter escolhido música?
- Uma urna contém 5 fichas pretas e 3 brancas, todas com a mesma chance de sair. Qual é a chance de tirar duas brancas ao acaso, sem reposição? E com reposição e mistura entre as retiradas?
- Uma máquina produz uma peça por vez. Em cada produção, a chance de defeito é 10%, e as duas produções são independentes. Qual é a chance de aparecer pelo menos uma peça com defeito em duas produções?
- Uma equipe de 3 pessoas será sorteada entre 9 voluntários, dos quais 4 já fizeram o treinamento. Todas as equipes de 3 são igualmente prováveis. Qual é a chance de todos os sorteados já terem feito o treinamento?
Resoluções dos exercícios
1. Cartões numerados
Os múltiplos de 4 são 4, 8 e 12. Há 3 resultados favoráveis entre 12 equiprováveis. A chance é 312 = 14 = 25%.
2. Setor que não seja roxo
Se 3 dos 8 setores são roxos, 5 não são. Pelo complementar, 1 − 38 = 58 = 62,5%.
3. Germinação
Divida o número de sementes que germinaram pelo número testado. Temos 68 ÷ 80 = 0,85, ou 85%.
4. Música ou teatro
Ao somar 16 e 14, os 6 estudantes que escolheram ambas as oficinas entram duas vezes. O total é 16 + 14 − 6 = 24. A chance é 2440 = 60%.
5. Música, dado que escolheu teatro
A informação restringe o sorteio aos 14 estudantes de teatro. Desses, 6 também escolheram música. A chance é 614 = 37, cerca de 42,9%.
6. Duas fichas brancas
Na primeira retirada, a chance é 38. Sem reposição, ficam 2 brancas entre 7 fichas. Então 38 × 27 = 328. Com reposição, a chance da segunda retirada volta a ser 38. Então 38 × 38 = 964.
7. Pelo menos uma peça com defeito
Cada peça tem chance de 90% de sair sem defeito. Como as produções são independentes, a chance de ambas saírem sem defeito é 0,9 × 0,9 = 0,81. Pelo complementar, 1 − 0,81 = 19%.
8. Equipe de pessoas treinadas
Há 9 × 8 × 7 maneiras de sortear três pessoas em ordem. Como cada equipe aparece nas seis ordens possíveis, há 9 × 8 × 7 ÷ 6 = 84 equipes. Usando apenas os 4 treinados, há 4 × 3 × 2 ÷ 6 = 4 equipes favoráveis. A probabilidade é 484 = 121, aproximadamente 4,8%.
Aprofunde seus estudos em probabilidade
Fundamentos
- O que é probabilidade?
- Experimentos aleatórios e espaço amostral
- Eventos certos, possíveis e impossíveis
- Como calcular uma probabilidade
- Probabilidade experimental e frequência relativa
- Problemas e exercícios de probabilidade básica
Regras de probabilidade e aplicações
- Espaço amostral, eventos e fórmula
- Probabilidade condicional
- Eventos independentes
- Probabilidade da união de eventos
- Probabilidade em experimentos sucessivos
- Probabilidade experimental com lançamentos de dado
- Probabilidade e análise combinatória
- Problemas resolvidos de probabilidade
- Mais exercícios de probabilidade
