Probabilidade binomial: pelo menos, no máximo e complementar

Uma palavra no enunciado muda quais resultados entram na conta. Vamos distinguir exatamente, pelo menos e no máximo, usando tabelas e gráficos.

1. Traduza a pergunta antes de calcular

“Exatamente”, “pelo menos” e “no máximo” representam eventos diferentes. Seja X o número de sucessos em n tentativas:

Enunciado	Evento	O que somar
Exatamente k sucessos	X = k	Apenas a probabilidade dessa contagem.
Pelo menos k sucessos	X ≥ k	As contagens k, k + 1, …, n.
No máximo k sucessos	X ≤ k	As contagens 0, 1, …, k.
Mais de k sucessos	X > k	As contagens k + 1, …, n.
Menos de k sucessos	X < k	As contagens 0, 1, …, k − 1.

“Pelo menos 2” inclui 2. “Mais de 2” começa em 3. Para contagens, essa diferença muda quais probabilidades entram na soma.

2. Uma tabela para acompanhar os exemplos

Uma moeda honesta é lançada quatro vezes, independentemente. Chamaremos de sucesso sair cara: n = 4, p = q = 0,5. A variável X conta quantas caras saem.

Caras k	P(X = k)	Percentual
0	$\frac{1}{16}$	6,25%
1	$\frac{4}{16}$	25%
2	$\frac{6}{16}$	37,5%
3	$\frac{4}{16}$	25%
4	$\frac{1}{16}$	6,25%

Os resultados 0, 1, 2, 3 e 4 esgotam as possibilidades. Suas probabilidades somam $\frac{16}{16}$ = 1. Cada linha pode ser calculada pela fórmula binomial.

Exemplo 1 — pelo menos duas caras

“Pelo menos duas” significa duas, três ou quatro caras. Somamos os três casos:

P (X \geq 2) = \frac{6 + 4 + 1}{16} = \frac{11}{16} = 0,6875

As colunas destacadas somam 68,75%. Não basta calcular a coluna de exatamente duas caras.

3. Quando usar o evento complementar

O complementar reúne todos os resultados que não pertencem ao evento. Como a probabilidade total é 1, podemos calcular o que falta:

P (evento) = 1 - P (complementar)

Exemplo 2 — o mesmo resultado por outro caminho

O contrário de “pelo menos duas caras” é “zero ou uma cara”, isto é, no máximo uma. Então:

P (X \geq 2) = 1 - \frac{1 + 4}{16} = \frac{11}{16}

Exemplo 3 — pelo menos um acerto

Uma pessoa acerta cada uma de cinco tentativas independentes com probabilidade 0,2. Queremos pelo menos um acerto. O único caso que fica de fora é nenhum acerto.

P (X \geq 1) = 1 - {0,8}^{5} = 0,67232

Resposta: 67,232%. Não fazemos 5 · 0,2: as possibilidades de acerto nas tentativas não são eventos mutuamente exclusivos, pois a pessoa pode acertar mais de uma vez.

4. No máximo e entre dois valores

Exemplo 4 — no máximo uma cara em quatro lançamentos

P (X \leq 1) = \frac{1 + 4}{16} = \frac{5}{16} = 0,3125

No máximo uma inclui zero e uma. A resposta é 31,25%.

Exemplo 5 — de uma a três caras, inclusive

Somamos as contagens 1, 2 e 3. Também podemos excluir os extremos 0 e 4:

P (1 \leq X \leq 3) = 1 - \frac{1 + 1}{16} = 0,875

A probabilidade é 87,5%. Os dois extremos excluídos somam 12,5%.

Próximo: Distribuição binomial: média, desvio padrão e limites do modelo

Siga o novo Instagram:

Como referenciar: "Probabilidade" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 05/11/2026 às 09:06. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade-binomial2.php