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📄 Probabilidade binomial: condições, fórmula e exemplos
📄 Probabilidade binomial: pelo menos, no máximo e complementar
📄 Distribuição binomial: média, desvio padrão e limites do modelo
📄 Exercícios de probabilidade binomial com resoluções
Distribuição binomial: média, desvio padrão e limites do modelo
Além de calcular probabilidades, podemos estudar o centro e a dispersão das contagens. Também precisamos reconhecer quando as condições da binomial não são atendidas.
1. Média de uma contagem binomial
Se X conta os sucessos em n tentativas independentes, com probabilidade constante p, sua média teórica é:
E(X) é lido como “valor esperado de X”. Ele é a média que esperamos observar ao repetir o experimento completo muitas vezes. Não é uma promessa para uma realização isolada.
Exemplo — seis lançamentos de uma moeda honesta
Em cada experimento fazemos seis lançamentos e contamos caras. Como n = 6 e p = 0,5:
A média teórica é 3 caras por experimento de seis lançamentos. Ainda podemos obter 0, 1, 2, 4, 5 ou 6 caras.
2. Variância e desvio padrão do modelo
A média não diz sozinha quanto a contagem varia entre experimentos. Para o modelo binomial:
Var(X) representa a variância teórica da contagem, e DP(X), seu desvio padrão. São propriedades do modelo; não estamos escolhendo entre os divisores n e n − 1 de uma lista observada. Para revisar o significado dessas medidas, consulte variância e desvio padrão.
Continuando o exemplo da moeda
A variância é 6 · 0,5 · 0,5 = 1,5. O desvio padrão é:
O desvio padrão é expresso na escala da contagem de caras. Isso não significa que cada experimento ficará exatamente 1,225 cara distante da média.
3. Uma média não inteira é possível
Em cinco tentativas com p = 0,3, a média teórica é 5 · 0,3 = 1,5 sucesso. Nenhum experimento terá meio sucesso: a média resume o resultado de muitas repetições, enquanto cada contagem individual é inteira.
4. Quando não devemos usar a binomial?
| Situação | Por que não atende diretamente ao modelo |
|---|---|
| Retirar duas bolas sem reposição de uma urna pequena | A composição da urna muda; as probabilidades ficam dependentes. |
| Continuar lançando uma moeda até sair a primeira cara | O número de tentativas não é fixado antecipadamente. |
| Acertos com probabilidades diferentes em cada tentativa | Não há uma mesma probabilidade p para todas as tentativas. |
| Peças com defeitos relacionados por um problema no lote | A independência não pode ser simplesmente presumida. |
Sem reposição, pode haver aproximações em certas situações, mas elas precisam ser justificadas. Para uma urna pequena, usamos as probabilidades condicionais ou a contagem por combinações, sem aplicar automaticamente a fórmula binomial.
Contraste — urna com três bolas vermelhas e duas azuis
Retiramos duas bolas sem reposição. A probabilidade de duas vermelhas é:
Usar p = 3/5 nas duas retiradas daria 0,36 e estaria errado. Após uma vermelha sair, restam duas vermelhas entre quatro bolas.
Nos casos extremos, se p = 0, a contagem é sempre zero; se p = 1, ela é sempre n. Em ambos, a variância é zero. Não é necessário lidar com expressões como zero elevado a zero para interpretar esses casos.
5. Roteiro para resolver problemas
- Defina o que será contado como sucesso.
- Confira o número fixo de tentativas, a independência e a probabilidade constante.
- Identifique n, p, q e as contagens pedidas.
- Decida se é melhor calcular um caso, somar vários ou usar o complementar.
- Calcule e confira se o resultado está entre 0 e 1.
- Converta para porcentagem e responda no contexto.
