Probabilidade binomial: condições, fórmula e exemplos

Como calcular a chance de exatamente dois acertos em três tentativas? Vamos construir a ideia da probabilidade binomial com exemplos e ilustrações.

1. Quando usamos a probabilidade binomial?

Considere uma pessoa que faz três arremessos, com probabilidade de acerto de 0,7 em cada tentativa. Admitindo que os resultados sejam independentes, queremos saber a chance de ela acertar exatamente duas vezes. A distribuição binomial é um modelo para contar sucessos em situações desse tipo.

Condição	Como aparece no exemplo
Número fixo de tentativas	Serão feitos 3 arremessos, independentemente dos resultados.
Dois resultados classificados em cada tentativa	Acerto ou falha.
Probabilidade de sucesso constante	A probabilidade de acerto é 0,7 em todas as tentativas.
Independência entre as tentativas	O resultado de uma não altera a probabilidade das outras.

Chamamos de sucesso o resultado que queremos contar. Isso não é um julgamento de valor: se a pergunta conta peças defeituosas, “sucesso” significa encontrar uma peça com defeito. Em um dado, também podemos classificar “sair 6” como sucesso e “não sair 6” como falha.

2. Primeiro, entenda um caso pequeno

Nos três arremessos, exatamente dois acertos podem ocorrer em três ordens: AAF, AFA e FAA. Em cada sequência há dois fatores 0,7 e um fator 0,3. Multiplicamos porque as tentativas foram consideradas independentes.

Cada ordem tem probabilidade 0,147. Como as ordens são diferentes e não podem ocorrer simultaneamente, somamos suas probabilidades.

P (X = 2) = 0,147 + 0,147 + 0,147 = 0,441

Resposta: 44,1%. Considerar somente AAF daria 14,7% e deixaria duas ordens de fora. “Exatamente dois acertos” não determina em quais posições eles acontecem.

3. O significado das letras

Símbolo	Significado	Neste exemplo
n	Quantidade total de tentativas.	3
k	Quantidade de sucessos que queremos.	2
p	Probabilidade de sucesso em uma tentativa.	0,7
q = 1 − p	Probabilidade de falha em uma tentativa.	0,3
X	Variável aleatória que conta os sucessos.	Pode assumir 0, 1, 2 ou 3.

Escrever P(X = 2) significa “probabilidade de ocorrerem exatamente dois sucessos”. X é uma contagem; p é uma probabilidade. São coisas diferentes.

4. Como chegamos à fórmula?

Uma sequência com k sucessos tem n − k falhas. Sua probabilidade é o produto de k fatores p e de n − k fatores q:

p^{k} \cdot q^{n - k}

Depois contamos quantas ordens têm essa mesma quantidade de sucessos. Precisamos escolher k posições entre n posições. Essa quantidade é o coeficiente binomial, calculado por uma combinação:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

A notação entre parênteses, com n acima de k, não é uma fração: leia “n escolhe k”. O símbolo ! indica fatorial; por exemplo, 3! = 3 · 2 · 1 = 6 e 0! = 1. Se precisar, consulte combinação simples.

P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

A fórmula vale para k inteiro entre 0 e n, sob as condições do modelo. Nos exemplos desta página, 0 < p < 1. Ela combina quantidade de ordens × probabilidade de cada ordem.

Aplicando a fórmula aos três arremessos

P (X = 2) = (\binom{3}{2}) \cdot {0,7}^{2} \cdot {0,3}^{1} = 3 \cdot 0,49 \cdot 0,3 = 0,441

Os fatores têm funções diferentes: 3 conta as ordens, 0,49 é a probabilidade dos dois acertos nas posições escolhidas e 0,3 é a probabilidade da falha restante.

5. A distribuição completa

A coluna laranja corresponde a exatamente dois acertos. As quatro probabilidades somam 1.

Todos os resultados possíveis para a contagem são 0, 1, 2 e 3. O fato de a probabilidade de acerto ser 70% em cada tentativa não significa que 70% dos três arremessos precisam ser acertos.

Outro exemplo — exatamente uma peça defeituosa

Quatro peças são selecionadas em condições que permitem modelar os defeitos como independentes, com probabilidade constante de defeito de 0,1 por peça. Qual é a chance de exatamente uma apresentar defeito?

Definimos “sucesso” como peça defeituosa: n = 4, k = 1, p = 0,1 e q = 0,9.

P (X = 1) = (\binom{4}{1}) \cdot 0,1 \cdot {0,9}^{3} = 0,2916

Resposta: 29,16%. Há quatro posições possíveis para a única peça defeituosa.

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Como referenciar: "Probabilidade" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 05/11/2026 às 09:06. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade-binomial.php