📄 População, amostra, censo e descrição dos dados
📄 Amostragem: sorteio, estratos e vieses de seleção
📄 Tipos de variáveis e qualidade dos registros
📄 Tabelas de frequências: absoluta, relativa e acumulada
📄 Gráficos estatísticos: colunas, setores, linhas e histogramas
📄 Média aritmética: significado, cálculo e valores extremos
📄 Média ponderada e média por frequências
📄 Mediana e moda: ordenar, contar e interpretar
📄 Quartis, percentis e boxplot: cálculo e interpretação
📄 Dispersão: amplitude, desvios e comparação de grupos
📄 Variância e desvio padrão: cálculo, unidade e divisores
📄 Distribuição normal: curva, probabilidades e escore z
📄 Dimensionamento da amostra: margem de erro e confiança
📄 Comparação de dados e leitura crítica de gráficos
📄 Indicadores socioeconômicos
📄 Pesquisa estatística completa: da pergunta à conclusão
📄 Exercícios de Estatística: pesquisa, tabelas e medidas de centro
📄 Exercícios de Estatística: quartis, dispersão e interpretação
📄 Diagrama de dispersão e dados com duas variáveis
📄 Correlação e associação entre duas variáveis
📄 Reta de tendência, estimativas e resíduos
📄 Exercícios de estatística com duas variáveis
Quartis, percentis e boxplot: cálculo e interpretação
A mediana divide uma lista ordenada ao meio. Os quartis ajudam a localizar seus quartos; os percentis indicam posições em uma escala de cem partes. O boxplot reúne informações sobre o centro e a dispersão dos dados em um gráfico.
1. O que são quartis?
Imagine os tempos de espera de várias pessoas, organizados do menor para o maior. Queremos saber até onde vai o primeiro quarto da lista, onde está o meio e onde termina o terceiro quarto. Os três valores usados como referências são os quartis:
| Quartil | Nome | O que indica |
|---|---|---|
| Q₁ | Primeiro quartil | A referência de aproximadamente 25% da distribuição ordenada. |
| Q₂ | Segundo quartil | O meio da distribuição: é a mediana, referência de 50%. |
| Q₃ | Terceiro quartil | A referência de aproximadamente 75% da distribuição ordenada. |
São três referências para quatro partes, assim como três marcas internas podem dividir uma fita em quatro trechos. Aqui, porém, buscamos partes com quantidades semelhantes de observações, e não intervalos de mesma largura.
Por exemplo, Q₁ = 4,5 minutos indica a referência do primeiro quarto dos tempos; não significa que 25% das pessoas esperaram exatamente 4,5 minutos. Em listas pequenas ou com valores repetidos, a divisão percentual não precisa ser exata.
2. Como calcular os quartis passo a passo
Há diferentes métodos para calcular quartis. Nesta página, usaremos as medianas das metades: primeiro encontramos a mediana da lista inteira; depois calculamos a mediana da metade inferior e a da metade superior. Quando a quantidade total é ímpar, deixamos a mediana geral fora das duas metades. Em exercícios e programas, confira qual método foi solicitado.
Exemplo 1 — tempos de espera de oito pessoas
Os tempos, em minutos, já estão em ordem: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12 e 30. Cada tempo corresponde a uma pessoa.
Passo 1 — encontre Q₂, a mediana geral
São 8 valores. Os dois centrais estão na 4ª e na 5ª posições: 7 e 8. Então:
Passo 2 — encontre Q₁ na metade inferior
A metade inferior é 2, 4, 5, 7. Seus dois valores centrais são 4 e 5:
Passo 3 — encontre Q₃ na metade superior
A metade superior é 8, 10, 12, 30. Seus dois valores centrais são 10 e 12:
Resultado: Q₁ = 4,5 min; Q₂ = 7,5 min; Q₃ = 11 min. Os quartis não precisam ser valores presentes na lista.
E se houver uma quantidade ímpar de valores?
Na lista 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, a mediana é 7. Pelo método adotado aqui, excluímos esse 7 ao formar as metades:
- Metade inferior: 1, 3, 5 → Q₁ = 3.
- Mediana geral: Q₂ = 7.
- Metade superior: 9, 11, 13 → Q₃ = 11.
3. Percentis: uma posição relativa ao grupo
Os percentis ampliam a mesma ideia para uma escala de cem partes. O percentil 25, escrito P₂₅, corresponde ao primeiro quartil; P₅₀ corresponde à mediana; P₇₅ corresponde ao terceiro quartil. Essas correspondências devem ser interpretadas usando um método de cálculo compatível.
Um percentil é um valor de referência; seu número indica a posição percentual. Por exemplo, P₉₀ = 82 pontos informa que a referência do percentil 90 é a nota 82. O número 90 é a posição percentual, enquanto 82 é uma nota.
Exemplo 2 — percentil não é porcentagem de acertos
Considere 100 estudantes com notas diferentes, ordenadas da menor para a maior. Para este exemplo, usamos a regra de tomar a 90ª nota como P₉₀. Se essa nota for 82 pontos, então P₉₀ = 82 pontos.
Estar nessa posição indica desempenho elevado em relação a esse grupo. Não informa que o estudante acertou 90% da prova. A porcentagem de acertos depende da pontuação máxima; o percentil depende da comparação com as notas dos outros estudantes.
Em grupos de outros tamanhos, com empates ou com métodos que interpolam valores, o cálculo pode ser diferente e as proporções podem ser aproximadas. Por isso, a regra de posição usada no exemplo não deve ser aplicada automaticamente a qualquer exercício.
4. Boxplot: como ler o gráfico de caixa
O boxplot, também chamado de diagrama de caixa, resume a distribuição em uma escala numérica. Ele permite observar onde está o centro, quanto os dados centrais variam e se há valores afastados do restante.
Vamos usar os mesmos oito tempos de espera do primeiro exemplo. Primeiro, veja a caixa, o traço central e os segmentos laterais, chamados de bigodes:
| Parte do gráfico | Como ler neste exemplo |
|---|---|
| Borda esquerda da caixa | É Q₁ = 4,5 minutos. |
| Traço laranja dentro da caixa | É a mediana: 7,5 minutos. Não é a média. |
| Borda direita da caixa | É Q₃ = 11 minutos. |
| Caixa inteira | Vai de Q₁ a Q₃ e representa a região dos 50% centrais dos dados, aproximadamente. |
| Bigodes | Vão até os valores observados mais extremos que não foram sinalizados pelo critério explicado abaixo: 2 e 12. |
| Ponto separado | É o tempo de 30 minutos, sinalizado como potencialmente atípico. |
O comprimento da caixa indica dispersão, não quantidade de pessoas. Uma caixa mais longa significa maior distância entre Q₁ e Q₃. Ao comparar boxplots, os eixos precisam usar a mesma escala. O gráfico não mostra todos os valores individuais nem permite descobrir a moda, em geral.
5. Por que o valor 30 aparece separado?
Primeiro calculamos a amplitude interquartil, abreviada como AIQ: a distância entre Q₃ e Q₁. Ela mede a largura da caixa.
No tipo de boxplot adotado aqui, calculamos dois limites, também chamados de cercas. Um valor abaixo do limite inferior ou acima do superior é desenhado como um ponto separado:
Aplicando os limites aos oito tempos
- Multiplicamos a AIQ por 1,5: 1,5 · 6,5 = 9,75.
- Limite inferior: 4,5 − 9,75 = −5,25 minutos.
- Limite superior: 11 + 9,75 = 20,75 minutos.
- Como 30 é maior que 20,75, desenhamos 30 como ponto separado.
- Os tempos não sinalizados são 2, 4, 5, 7, 8, 10 e 12. Os extremos dessa lista são 2 e 12: são as pontas dos bigodes.
Os bigodes não terminam nas cercas −5,25 e 20,75. Eles terminam em valores realmente observados que estão dentro dos limites. O limite inferior negativo é apenas um resultado da regra; não significa que alguém esperou um tempo negativo.
Um valor sinalizado é um potencial valor atípico, também chamado de outlier. Ele pode ser legítimo: uma pessoa pode, de fato, ter esperado muito mais que as outras. O gráfico sugere investigar o caso; não autoriza apagar o dado automaticamente. Existem boxplots com outras regras para os bigodes, então confira a legenda.
Confira se entendeu
Considere os valores ordenados 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 e 16. Pelo método das medianas das metades, quais são Q₁, Q₂ e Q₃? Qual é a AIQ?
Ver resolução
A mediana geral está entre 8 e 10: Q₂ = 9. Na metade inferior, 2, 4, 6, 8, a mediana está entre 4 e 6: Q₁ = 5. Na metade superior, 10, 12, 14, 16, a mediana está entre 12 e 14: Q₃ = 13.
AIQ = 13 − 5 = 8. A caixa do boxplot vai de 5 a 13, com o traço da mediana em 9.
