📄 População, amostra, censo e descrição dos dados
📄 Amostragem: sorteio, estratos e vieses de seleção
📄 Tipos de variáveis e qualidade dos registros
📄 Tabelas de frequências: absoluta, relativa e acumulada
📄 Gráficos estatísticos: colunas, setores, linhas e histogramas
📄 Média aritmética: significado, cálculo e valores extremos
📄 Média ponderada e média por frequências
📄 Mediana e moda: ordenar, contar e interpretar
📄 Quartis, percentis e boxplot: cálculo e interpretação
📄 Dispersão: amplitude, desvios e comparação de grupos
📄 Variância e desvio padrão: cálculo, unidade e divisores
📄 Distribuição normal: curva, probabilidades e escore z
📄 Dimensionamento da amostra: margem de erro e confiança
📄 Comparação de dados e leitura crítica de gráficos
📄 Indicadores socioeconômicos
📄 Pesquisa estatística completa: da pergunta à conclusão
📄 Exercícios de Estatística: pesquisa, tabelas e medidas de centro
📄 Exercícios de Estatística: quartis, dispersão e interpretação
📄 Diagrama de dispersão e dados com duas variáveis
📄 Correlação e associação entre duas variáveis
📄 Reta de tendência, estimativas e resíduos
📄 Exercícios de estatística com duas variáveis
Média ponderada e média por frequências
Na média aritmética simples, todos os valores têm a mesma participação. Na média ponderada, alguns valores contam mais que outros. Essa participação é indicada por um número chamado peso.
1. O que significa uma nota ter peso 2 ou peso 3?
Imagine uma disciplina com duas avaliações: um trabalho em que a nota foi 6, com peso 2, e uma prova em que a nota foi 9, com peso 3. A prova tem maior peso e, por isso, influencia mais a média final.
Para entender a conta, podemos imaginar a nota 6 participando duas vezes e a nota 9 participando três vezes. Não são cinco avaliações reais: é uma maneira de visualizar os pesos.
Por que dividir por 5, se só houve duas avaliações? Porque estamos considerando cinco partes de participação: duas do trabalho e três da prova. Dividir por 2 depois de multiplicar as notas pelos pesos não compensaria essa participação extra.
2. Como calcular sem repetir as notas
Exemplo 1 — trabalho e prova
Em vez de escrever a mesma nota várias vezes, multiplicamos cada nota por seu peso:
| Avaliação | Nota | Peso | Nota × peso |
|---|---|---|---|
| Trabalho | 6 | 2 | 6 · 2 = 12 |
| Prova | 9 | 3 | 9 · 3 = 27 |
| Total | — | 2 + 3 = 5 | 12 + 27 = 39 |
- Multiplique cada nota pelo respectivo peso: 6 · 2 = 12 e 9 · 3 = 27.
- Some os produtos: 12 + 27 = 39.
- Some os pesos: 2 + 3 = 5.
- Divida a soma dos produtos pela soma dos pesos:
A média final é 7,8. Ela fica mais perto de 9 que de 6, pois a nota 9 tem maior peso. A média simples das duas notas seria 7,5 e daria a ambas a mesma participação.
O peso é um multiplicador da participação, não um bônus na nota. Não devemos somar o peso à nota. Além disso, com pesos positivos, a média fica entre o menor e o maior valor: neste exemplo, entre 6 e 9.
3. E quando os pesos aparecem em porcentagens?
Exemplo 2 — trabalho vale 40% e prova vale 60%
Se o trabalho representa 40% da média e a prova representa 60%, os pesos podem ser escritos como 40 e 60. Com as mesmas notas 6 e 9:
Os pesos 40 e 60 têm a mesma proporção dos pesos 2 e 3: basta multiplicar ambos por 20. Por isso, a média não muda.
Também podemos usar os pesos decimais 0,4 e 0,6. Como eles somam 1, a conta fica:
4. Frequências: quando o peso é uma contagem
Em uma pesquisa fictícia, 12 estudantes informaram quantos livros leram em um mês. Os resultados foram:
O número 2 aparece quatro vezes, pois quatro estudantes leram dois livros cada. Somar 2 + 2 + 2 + 2 equivale a fazer 2 · 4 = 8. A frequência é a quantidade de vezes que um valor aparece; ela funciona como peso na conta.
| Livros por estudante | Número de estudantes (frequência) | Total de livros |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 · 1 = 0 |
| 1 | 3 | 1 · 3 = 3 |
| 2 | 4 | 2 · 4 = 8 |
| 3 | 2 | 3 · 2 = 6 |
| 4 | 1 | 4 · 1 = 4 |
| 5 | 1 | 5 · 1 = 5 |
| Total | 12 | 26 |
Foram aproximadamente 2,17 livros por estudante. Dividimos por 12 estudantes, e não pelas seis linhas de valores distintos da tabela. O estudante que leu zero livros também faz parte do grupo.
Aqui, a frequência conta observações reais. Já o peso de uma prova é uma regra de avaliação. A conta tem a mesma estrutura, mas os pesos têm significados diferentes.
5. Dados agrupados em classes: uma estimativa
Às vezes, não conhecemos cada valor: temos apenas intervalos e suas frequências. Por exemplo, sabemos quantas pessoas levam de 20 a menos de 30 minutos em um trajeto, mas não o tempo de cada uma. Para estimar a média, usamos o ponto médio de cada intervalo como representante.
No intervalo de 20 a menos de 30 minutos, o ponto médio é:
Se há 7 pessoas nesse intervalo, estimamos o total desse grupo como 25 · 7 = 175 minutos. É como substituir os sete tempos desconhecidos por sete valores iguais a 25 minutos.
| Tempo t (min) | Ponto médio (min) | Pessoas | Total estimado (min) |
|---|---|---|---|
| 0 ≤ t < 10 | 5 | 1 | 5 · 1 = 5 |
| 10 ≤ t < 20 | 15 | 5 | 15 · 5 = 75 |
| 20 ≤ t < 30 | 25 | 7 | 25 · 7 = 175 |
| 30 ≤ t < 40 | 35 | 4 | 35 · 4 = 140 |
| 40 ≤ t < 50 | 45 | 3 | 45 · 3 = 135 |
| Total | — | 20 | 530 |
A notação 20 ≤ t < 30 inclui o tempo de 20 minutos e exclui o de 30 minutos, que entra no intervalo seguinte.
Esse resultado é uma estimativa. Os tempos reais dentro de cada intervalo podem ser diferentes do ponto médio. A tabela de classes não permite recuperar a média exata. Se tivermos os valores individuais, devemos usá-los para obter o resultado exato.
A regra geral e seus símbolos
Na fórmula com letras, x₁, x₂, …, xₖ são os valores; p₁, p₂, …, pₖ são os respectivos pesos; e k indica quantos pares de valor e peso temos. O índice associa cada valor ao seu peso. Usamos (leia “x barra”) para representar a média:
Os pesos são não negativos e pelo menos um deve ser positivo, para que a soma dos pesos não seja zero. Um peso zero exclui a contribuição daquele valor. Se todos os pesos forem iguais e positivos, a média ponderada coincide com a média aritmética simples.
Confira se entendeu
Pedro tirou 5 em uma atividade de peso 1 e 8 em uma prova de peso 2. Qual é sua média ponderada? Antes de calcular, pense: ela deve ficar mais perto de 5 ou de 8?
Ver resolução
A média é 7. Ela fica mais perto de 8, pois essa nota tem o dobro do peso da nota 5. A soma dos pesos é 3; não dividimos por 2 só porque houve duas avaliações.
