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📄 Média aritmética: significado, cálculo e valores extremos
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📄 Exercícios de estatística com duas variáveis

Média aritmética: significado, cálculo e valores extremos

A média aritmética é o valor que cada pessoa ou observação teria se o total fosse repartido igualmente. Para calculá-la, somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de valores. Vamos entender por que essa conta funciona.

1. Entenda a ideia antes de fazer a conta

Ana tem 2 fichas, Bia tem 4 e Caio tem 6. Juntas, as três pessoas têm 12 fichas. Se repartirem essas fichas igualmente, cada uma ficará com 4 fichas. Portanto, a média é 4 fichas por pessoa.

Caio pode passar 2 fichas para Ana. Assim, todos ficam com 4, sem alterar o total de 12 fichas.

Média = \frac{soma dos valores}{quantidade de valores}

Média = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4

Por que dividir por 3? Porque há três pessoas, uma para cada valor informado. O número 12 é o total de fichas; não é a quantidade de pessoas.

2. Como calcular: um exemplo com notas

Exemplo 1 — quatro provas com a mesma importância

Luísa tirou 6, 7, 8 e 9 em quatro provas, todas com o mesmo peso. Qual é a média das notas?

Some as quatro notas: 6 + 7 + 8 + 9 = 30.
Conte quantas notas foram somadas: são 4 notas.
Divida o total por essa quantidade:

Média = \frac{6 + 7 + 8 + 9}{4} = \frac{30}{4} = 7,5

Resposta: a média de Luísa é 7,5. Isso não significa que ela tirou 7,5 em alguma prova. Significa que quatro notas iguais a 7,5 teriam a mesma soma das notas reais: 4 · 7,5 = 30.

Neste exemplo, todas as provas contam igualmente. Se uma prova tiver mais peso que outra, o cálculo deve considerar esses pesos, como veremos na média ponderada.

3. Valores repetidos e zero também entram na conta

Exemplo 2 — vendas em quatro dias

Uma loja vendeu 0, 4, 4 e 8 camisetas em quatro dias. No primeiro dia não houve vendas, mas esse dia faz parte do período estudado.

Média = \frac{0 + 4 + 4 + 8}{4} = \frac{16}{4} = 4

A loja vendeu, em média, 4 camisetas por dia. As duas ocorrências do número 4 entram na soma, pois correspondem a dias diferentes. O dia com zero vendas também é contado: por isso dividimos por 4, e não por 3.

Zero e informação ausente são situações diferentes. Zero indica uma quantidade conhecida: não houve vendas. Um campo em branco pode indicar que a quantidade não foi registrada; não devemos transformá-lo automaticamente em zero.

4. A média sempre representa bem o grupo?

A média considera todos os valores. Por isso, um valor muito alto ou muito baixo pode deslocá-la bastante. Veja um exemplo com rendimentos mensais fictícios:

Quatro pessoas recebem R$ 2.000 cada. O rendimento de R$ 12.000 eleva a média para R$ 4.000.

Média = \frac{2.000 + 2.000 + 2.000 + 2.000 + 12.000}{5} = \frac{20.000}{5} = 4.000

A conta está correta, mas nenhuma dessas pessoas recebe R$ 4.000, e a maioria recebe menos que a média. Portanto, conhecer apenas a média não revela como os rendimentos estão distribuídos.

Se a quinta pessoa também recebesse R$ 2.000, a média seria R$ 2.000. Ao trocar apenas esse rendimento de R$ 2.000 por R$ 12.000, o total cresce R$ 10.000. Como há cinco pessoas, a média cresce R$ 2.000.

5. Como juntar grupos com médias diferentes

Exemplo 3 — média de duas turmas

Em uma mesma prova, a turma A tem 10 estudantes e média 6; a turma B tem 30 estudantes e média 8. Qual é a média dos 40 estudantes juntos?

Precisamos recuperar a soma das notas de cada turma. Como a média é a soma dividida pela quantidade, fazemos o caminho inverso: soma das notas = média · quantidade de estudantes.

Turma A

10 estudantes · média 6

Soma das notas: 10 · 6 = 60

Turma B

30 estudantes · média 8

Soma das notas: 30 · 8 = 240

Agora juntamos as somas das notas e dividimos pelo total de estudantes:

Média geral = \frac{60 + 240}{10 + 30} = \frac{300}{40} = 7,5

Por que não fazer a média de 6 e 8? Essa conta daria 7 e trataria as duas turmas como se tivessem a mesma quantidade de estudantes. A turma B tem três vezes mais estudantes; sua média influencia mais o resultado, que fica mais perto de 8. Só podemos usar a média simples das médias de dois grupos quando eles têm o mesmo tamanho.

A fórmula com letras

Depois dos exemplos, podemos escrever a mesma regra de modo geral. Usamos n para a quantidade de valores e x₁, x₂, …, xₙ para os valores observados. O número pequeno identifica a posição de cada valor; não é um expoente. A média é representada por $\bar{x}$ (leia “x barra”).

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}

No exemplo das provas, n = 4 e os valores são 6, 7, 8 e 9. A fórmula diz exatamente o que já fizemos: somar as quatro notas e dividir por 4.

Confira se entendeu

Uma pessoa estudou 30, 45 e 60 minutos em três dias. Qual foi o tempo médio de estudo por dia?

Ver resolução

Média = \frac{30 + 45 + 60}{3} = 45

O tempo médio foi de 45 minutos por dia.

Em quatro partidas, uma equipe marcou 0, 1, 2 e 3 gols. Qual foi a média de gols por partida?