📄 População, amostra, censo e descrição dos dados
📄 Amostragem: sorteio, estratos e vieses de seleção
📄 Tipos de variáveis e qualidade dos registros
📄 Tabelas de frequências: absoluta, relativa e acumulada
📄 Gráficos estatísticos: colunas, setores, linhas e histogramas
📄 Média aritmética: significado, cálculo e valores extremos
📄 Média ponderada e média por frequências
📄 Mediana e moda: ordenar, contar e interpretar
📄 Quartis, percentis e boxplot: cálculo e interpretação
📄 Dispersão: amplitude, desvios e comparação de grupos
📄 Variância e desvio padrão: cálculo, unidade e divisores
📄 Distribuição normal: curva, probabilidades e escore z
📄 Dimensionamento da amostra: margem de erro e confiança
📄 Comparação de dados e leitura crítica de gráficos
📄 Indicadores socioeconômicos
📄 Pesquisa estatística completa: da pergunta à conclusão
📄 Exercícios de Estatística: pesquisa, tabelas e medidas de centro
📄 Exercícios de Estatística: quartis, dispersão e interpretação
📄 Diagrama de dispersão e dados com duas variáveis
📄 Correlação e associação entre duas variáveis
📄 Reta de tendência, estimativas e resíduos
📄 Exercícios de estatística com duas variáveis
Mediana e moda: ordenar, contar e interpretar
A mediana mostra o centro de uma lista colocada em ordem. A moda mostra o valor que mais se repete. Elas respondem a perguntas diferentes e não precisam ser iguais à média aritmética.
1. Mediana: qual valor fica no meio?
Imagine os valores organizados em uma fila, do menor para o maior. A mediana é encontrada olhando para o meio dessa fila. Por isso, o primeiro passo é sempre ordenar os dados, mantendo os valores repetidos.
Exemplo 1 — cinco tempos de espera
Cinco pessoas esperaram 8, 2, 14, 7 e 4 minutos para ser atendidas. Qual foi a mediana dos tempos de espera?
- Coloque os tempos em ordem: 2, 4, 7, 8, 14.
- Conte os valores: são 5, uma quantidade ímpar.
- Localize o valor central: o terceiro valor é 7.
A mediana é 7 minutos. Há dois tempos antes dele e dois depois. Também podemos encontrar o centro retirando mentalmente as pontas: primeiro 2 e 14, depois 4 e 8. Sobra 7.
Atenção: na lista original, o terceiro valor era 14. Escolher o elemento do meio antes de ordenar daria uma resposta errada. A posição central só tem significado depois da ordenação.
2. E se a quantidade de valores for par?
Quando a quantidade é par, a lista tem dois valores centrais. Para dados numéricos, calculamos a média aritmética desses dois valores.
Exemplo 2 — seis tempos de espera
Agora considere os tempos 10, 2, 8, 12, 4 e 6 minutos. Em ordem crescente, ficam:
São seis tempos: dois ficam antes do par central e dois depois. Somamos apenas os dois valores centrais e dividimos por 2:
A mediana é 7 minutos, embora ninguém tenha esperado exatamente esse tempo. Não dividimos por 6, porque estamos calculando a média apenas dos dois valores centrais.
Mediana não é a média entre o menor e o maior valor. No primeiro exemplo, essa conta seria a média de 2 e 14, ou seja, 8; mas a mediana é 7. O que importa é a posição na lista ordenada.
Como localizar as posições centrais em listas maiores
Chamamos de n a quantidade de valores. As expressões abaixo indicam posições na lista ordenada; depois de localizar a posição, precisamos ler o valor que está nela.
| Quantidade de valores | Posição ou posições centrais | Exemplo |
|---|---|---|
| Ímpar | Com 5 valores: (5 + 1) ÷ 2 = 3 → 3ª posição. | |
| Par | e | Com 6 valores: 3ª e 4ª posições. |
3. Moda: qual valor aparece mais vezes?
A moda é o valor ou categoria com maior frequência, isto é, com maior número de ocorrências. Para encontrá-la, contamos as repetições; não precisamos somar os valores.
Exemplo 3 — livros lidos por uma turma
Em uma pesquisa fictícia, 12 estudantes informaram quantos livros leram no mês:
| Livros lidos | Número de estudantes |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 2 |
| 4 | 1 |
| 5 | 1 |
A moda é 2 livros. O número 4 é a frequência dessa moda: quatro estudantes leram dois livros cada. O maior valor da lista é 5, mas ele aparece uma única vez e não é a moda.
Pode haver mais de uma moda?
Sim. Se dois ou mais valores empatam na maior frequência, todos eles são modas. Veja:
| Dados | Contagem | Conclusão |
|---|---|---|
| 1; 2; 2; 3; 4 | 2 aparece duas vezes; os demais, uma vez. | Uma moda: 2 (unimodal). |
| 1; 1; 2; 3; 3 | 1 e 3 aparecem duas vezes cada. | Duas modas: 1 e 3 (bimodal). |
| 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4 | 1, 2 e 3 aparecem duas vezes cada. | Três modas: 1, 2 e 3 (multimodal). |
| 1; 2; 3; 4 | Todos aparecem uma vez. | Nenhum se destaca: conjunto amodal. |
Neste material, adotamos a convenção escolar de chamar de amodal um conjunto em que todos os valores têm a mesma frequência. Quando há empate apenas entre os mais frequentes, o conjunto tem mais de uma moda.
A moda também pode ser uma categoria. Se as respostas sobre cores preferidas forem azul, verde, azul, vermelho e azul, a moda é “azul”. Não é necessário transformar as cores em números.
4. Média, mediana e moda no mesmo exemplo
Considere estes cinco tempos de espera, em minutos: 2, 3, 3, 4 e 18.
| Medida | Como encontrar | Resultado |
|---|---|---|
| Média | Somar todos os tempos e dividir por 5: . | 6 minutos |
| Mediana | Ler o 3º valor da lista já ordenada. | 3 minutos |
| Moda | Contar qual valor mais se repete: 3 aparece duas vezes. | 3 minutos |
Quatro das cinco pessoas esperaram de 2 a 4 minutos. O tempo de 18 minutos eleva a média para 6, mas a mediana continua no centro da lista, em 3. A moda indica o tempo mais frequente, também 3.
Se o último tempo aumentar de 18 para 48 minutos, a média sobe de 6 para 12 minutos. A mediana e a moda permanecem em 3, pois a posição central e as repetições não mudam. Esse exemplo mostra por que a mediana costuma ser menos sensível a valores extremos que a média.
A escolha depende da pergunta: para repartir igualmente um total, usamos a média; para localizar o centro dos dados ordenados, a mediana; para descobrir o resultado mais frequente, a moda. Nenhuma dessas medidas é sempre a melhor para qualquer situação.
E quando os dados estão em intervalos?
Em uma tabela de classes de mesma largura, como 0 a menos de 10 minutos, 10 a menos de 20 e 20 a menos de 30, o intervalo de maior frequência é a classe modal. Isso não informa qual tempo exato mais se repetiu dentro dela.
Também podemos localizar a classe que contém a posição central usando as frequências acumuladas. Porém, se só conhecemos os intervalos, geralmente não conseguimos recuperar a mediana exata. Estimar um valor dentro da classe exige uma regra adicional.
Confira se entendeu
Os números de mensagens recebidas em cinco dias foram 9, 2, 5, 2 e 7. Qual é a mediana? E a moda?
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Ordenando: 2, 2, 5, 7, 9. A mediana é 5 mensagens, o terceiro valor. A moda é 2 mensagens, pois é o único valor que aparece duas vezes.
As idades de quatro participantes são 12, 10, 14 e 10 anos. Qual é a mediana? E a moda?
Ver resolução
Ordenando: 10, 10, 12, 14. Os valores centrais são 10 e 12:
A mediana é 11 anos. A moda é 10 anos, que aparece duas vezes.
