Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

As razões trigonométricas no triângulo retângulo não bastam quando nenhum ângulo mede 90°. A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos permitem resolver triângulos quaisquer.

Por convenção, o lado a fica oposto ao ângulo A, o lado b ao ângulo B e o lado c ao ângulo C.

Lei dos Senos

\frac{a}{sen A} = \frac{b}{sen B} = \frac{c}{sen C} = 2 R

R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. A lei é especialmente útil quando conhecemos um lado e seu ângulo oposto, além de outro lado ou ângulo.

Exemplo 1

Num triângulo, A = 30°, B = 45° e a = 6 cm. Calcule b.

\frac{6}{sen 30 °} = \frac{b}{sen 45 °}

b = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 6 \sqrt{2} cm

Lei dos Cossenos

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A

As outras formas são obtidas por troca cíclica das letras. Essa lei é útil quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.

Exemplo 2

Dois lados de um triângulo medem 5 cm e 8 cm, e o ângulo entre eles mede 60°. Calcule o terceiro lado x.

x^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60 °

x^{2} = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow x = 7 cm

Dados conhecidos	Estratégia indicada
Dois ângulos e um lado	Lei dos Senos
Dois lados e um ângulo oposto	Lei dos Senos
Dois lados e o ângulo entre eles	Lei dos Cossenos
Três lados	Lei dos Cossenos

Caso retângulo: quando A = 90°, cos A = 0 e a Lei dos Cossenos se reduz a a² = b² + c², que é o Teorema de Pitágoras.

Próximo: Área de triângulos usando trigonometria

Siga o novo Instagram:

Como referenciar: "Trigonometria" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 02/11/2026 às 05:08. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/trigonometria15.php

Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Lei dos Senos

Exemplo 1

Lei dos Cossenos

Exemplo 2

Curso on-line do Só Matemática