Arco duplo e arco metade

As fórmulas de arco duplo resultam das fórmulas de adição tomando a = b = x. As de arco metade são obtidas isolando sen(x/2) e cos(x/2) nas identidades do cosseno do arco duplo.

Arco duplo

sen 2 x = 2 sen x \cos x

\cos 2 x = {\cos x}^{2} - {sen x}^{2}

tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg x}^{2}}

Arco metade

sen (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

O sinal depende do quadrante em que x/2 se encontra.

O cosseno do arco duplo também pode ser escrito de duas outras formas úteis:

\cos 2 x = 2 {\cos x}^{2} - 1 = 1 - 2 {sen x}^{2}

Exemplo 1

Se sen x = 3/5 e cos x = 4/5, calcule sen 2x.

sen 2 x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}

Exemplo 2

Calcule cos 30° usando a fórmula do meio arco e cos 60° = 1/2.

\cos 30 ° = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

O sinal é positivo porque 30° está no primeiro quadrante.

Restrição: a fórmula de tg 2x exige que tg x exista e que 1 − tg²x ≠ 0.

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Como referenciar: "Trigonometria" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 02/11/2026 às 05:08. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/trigonometria11.php

Arco duplo e arco metade

Arco duplo

Arco metade

Exemplo 1

Exemplo 2

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