Taxa de variação média de uma função

Em um passeio de bicicleta, você percorre 10 km na primeira hora e chega à marca de 30 km ao fim da segunda. Em qual hora percorreu mais quilômetros? O gráfico mostra a distância acumulada desde a saída.

Na primeira hora, a distância aumenta 10 km. Na segunda, aumenta 20 km.

Como calcular a taxa de variação média?

Subtraia o valor inicial do valor final da função. Depois, divida o resultado pela diferença entre os valores final e inicial da variável de entrada. Para uma função f no intervalo de a até b, com a < b, temos:

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Exemplo resolvido com o gráfico

Aqui, f(t) é a distância acumulada após t horas. No eixo horizontal, lemos os tempos inicial e final (a e b). No eixo vertical, lemos as distâncias correspondentes: f(0) = 0 km, f(1) = 10 km e f(2) = 30 km.

Primeira hora (0 a 1 h)
$\frac{f (1) - f (0)}{1 - 0} = \frac{10 - 0}{1 - 0} = \frac{10}{1} = 10 km/h$
Segunda hora (1 a 2 h)
$\frac{f (2) - f (1)}{2 - 1} = \frac{30 - 10}{2 - 1} = \frac{20}{1} = 20 km/h$
Passeio inteiro (0 a 2 h)
$\frac{f (2) - f (0)}{2 - 0} = \frac{30 - 0}{2 - 0} = \frac{30}{2} = 15 km/h$

Na segunda hora, subtraímos os 10 km que já haviam sido percorridos. Por isso, o numerador é 30 − 10 = 20 km.

A unidade vem da divisão de quilômetros por horas. Uma taxa média de 15 km/h resume o passeio inteiro e pode reunir trechos percorridos em ritmos diferentes.

Quando a taxa muda de um intervalo para outro?

Considere um quadrado de lado l. Seu perímetro é P = 4l, pois o contorno tem quatro lados iguais. Sua área é A = l², pois multiplicamos o lado por ele mesmo.

Lado (cm)	Perímetro (cm)	Área (cm²)
1	4	1
2	8	4
3	12	9

Para calcular cada taxa, dividimos a diferença entre os valores da coluna escolhida pela diferença entre os lados.

De 1 a 2 cm de lado. A taxa do perímetro é $\frac{8 - 4}{2 - 1} = 4$ cm por centímetro. A taxa da área é $\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$ cm² por centímetro.
De 2 a 3 cm de lado. A taxa do perímetro é $\frac{12 - 8}{3 - 2} = 4$ cm por centímetro. A taxa da área é $\frac{9 - 4}{3 - 2} = 5$ cm² por centímetro.

Nos dois intervalos, o lado aumenta 1 cm e o perímetro aumenta 4 cm. Já a área ganha 3 cm² no primeiro intervalo e 5 cm² no segundo. A taxa do perímetro é constante, enquanto a da área depende do intervalo escolhido.

O que o sinal da taxa indica?

Uma taxa positiva indica que o valor final é maior que o inicial. Uma taxa negativa indica queda entre os extremos. Uma taxa igual a zero indica que os valores nos extremos são iguais, mesmo que a função varie entre eles.

Exercícios

A temperatura caiu de 24 °C para 18 °C em 3 horas. Qual foi a taxa média?
O lado de um quadrado passou de 2 para 5 cm. Qual foi a taxa de variação média da área?
Uma caminhada terminou no ponto de partida. Qual foi a taxa de variação média da distância em linha reta até esse ponto, do início ao fim?

Ver resoluções

A variação foi de −6 °C em 3 horas, ou −2 °C por hora.
A área aumentou de 4 para 25 cm². A diferença de 21 cm² dividida pelos 3 cm de aumento do lado dá 7 cm² por centímetro.
A distância até o ponto de partida começou e terminou em zero. Por isso, a taxa média dessa distância foi zero.

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