Funções potência com expoentes negativos e fracionários

Expoente inteiro negativo

Um expoente inteiro negativo indica o inverso multiplicativo da potência correspondente. Por isso, zero fica fora do domínio.

A função acima só tem valores positivos. Perto de zero, as saídas crescem sem limite. Quando o módulo de x fica muito grande, as saídas se aproximam de zero. A imagem é (0, +∞). Em $x^{-1}$, as saídas negativas também aparecem e a imagem é ℝ sem o zero.

Expoente fracionário

Nas funções com expoente fracionário, comece escrevendo a fração na forma irredutível. Para base positiva, o denominador indica o índice da raiz e o numerador indica a potência. Aqui usaremos a interpretação real por radicais para estender o domínio às bases negativas quando o denominador reduzido for ímpar.

Nesse exemplo, a raiz cúbica aceita todo x real. Elevar o resultado ao quadrado deixa a imagem não negativa. Já na potência de expoente $\frac{3}{2}$, a raiz quadrada exige x ≥ 0. Se o expoente for negativo, também precisamos excluir x = 0 por causa do denominador.

Aplicação ao volume de um cubo

Se a aresta a está em centímetros, o volume V é dado em centímetros cúbicos por $V=a^3$. Como a medida da aresta é positiva, o modelo físico usa a > 0. A função inversa recupera a aresta a partir do volume.