Funções potência e raiz como inversas

Uma inversa recupera a entrada a partir da saída. Vamos comparar o quadrado com o cubo para decidir quando isso é possível.

Por que o domínio importa na inversão?

A função inversa recupera a entrada original a partir da saída. Se a função quadrado está definida em todos os reais, a saída 4 poderia vir tanto de 2 quanto de −2. A inversa precisaria dar duas respostas para a mesma entrada.

Escolha um ramo da parábola

Restrinja a função quadrado ao domínio [0, +∞) e use [0, +∞) como contradomínio. Nesse ramo, cada saída ocorre uma única vez, e todas as saídas não negativas são atingidas. A função torna-se bijetora.

f (x) = x^{2}, x \geq 0

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, x \geq 0

Ao inverter a função, trocamos as coordenadas de cada ponto. O ponto (2, 4) do ramo escolhido se transforma em (4, 2) no gráfico da inversa. Os gráficos são reflexos em relação à reta y = x.

Os pontos (2, 4) e (4, 2) aparecem destacados. As escalas iguais nos dois eixos deixam visível a reflexão.

E se escolhermos o ramo esquerdo?

Com domínio (−∞, 0] e contradomínio [0, +∞), o quadrado também é bijetor. A inversa recupera sempre uma entrada não positiva. Nesse caso, a saída da inversa para 4 é −2.

f^{- 1} (x) = - \sqrt{x}, x \geq 0

Cubo e raiz cúbica

O cubo cresce em toda a reta e assume todos os valores reais. Por isso, como função de ℝ em ℝ, ele já é bijetor. Sua inversa é a raiz cúbica, também definida de ℝ em ℝ.

Os dois gráficos são reflexos em relação a y = x, inclusive na região de coordenadas negativas.

Confira a inversa pela composição

Elevar ao quadrado a raiz quadrada de x devolve x quando x ≥ 0. Fazer as operações na ordem contrária, para um x real qualquer, devolve o módulo de x.

\sqrt{x^{2}} = | x |

Se x = −3, seu quadrado é 9 e a raiz quadrada de 9 é 3. Restringir o ramo escolhido é o que permite recuperar a entrada com o sinal correto.

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