Relações de Girard: soma e produto das raízes

Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:  

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S)

Produto das raízes (P)

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x²  + x - 2 = 0. 
  
  Solução
  Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.
  A soma das raízes é igual a .     O produto das raízes é igual a .
  Assim:                                    Assim:

• Determine o valor de k na equação x² + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.
  
  Solução
  Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.
  S= x₁ + x₂ = 7
  
  Logo, o valor de k é -2.

Fórmulas de soma e produto

Para ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0 e raízes x₁ e x₂:

x₁ + x₂ = -b/a    e    x₁ · x₂ = c/a.

Exemplo: em 2x² - 7x + 3 = 0, a soma das raízes é 7/2 e o produto é 3/2. De fato, as raízes são 3 e 1/2.

Essas relações permitem conferir as raízes e, em muitos exercícios, evitam o cálculo individual de cada uma.

Siga o novo Instagram: