Como formar uma equação do 2º grau pelas raízes

Considere a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
  Solução:
  A soma das raízes corresponde a:
  S= x₁ + x₂ = -2 + 7 = 5
  
  O produto das raízes corresponde a:
  P= x₁ . x₂ = ( -2) . 7 = -14
  
  A equação do 2º grau é dada por x² - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.
  Logo, x² - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
   

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é  .
  Solução:
  Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz  , a outra raiz será  .
  
  
  Assim:
  
  Logo, x² - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

Regra prática

Se as raízes são x₁ e x₂, uma equação que as possui é:

x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.

Por exemplo, para as raízes 2 e 5, temos soma 7 e produto 10. Portanto, a equação é x² - 7x + 10 = 0. Qualquer múltiplo não nulo dessa equação, como 2x² - 14x + 20 = 0, possui as mesmas raízes.

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