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Princípio de Cavalieri e volume dos sólidos
Se você empurrar um pouco para o lado cada moeda de uma pilha, a forma da pilha muda. O volume continua igual, pois nenhuma moeda foi acrescentada ou retirada. O princípio de Cavalieri usa uma ideia parecida para comparar sólidos.
O que diz o princípio de Cavalieri?
Imagine dois sólidos apoiados no mesmo plano horizontal e com a mesma altura. Escolha uma altura qualquer acima das bases e passe um plano horizontal pelos dois sólidos. A região que esse plano recorta em cada sólido é uma seção transversal.
Se as duas seções têm a mesma área em toda altura, então os dois sólidos têm o mesmo volume. Para aplicar o princípio, precisamos justificar a igualdade para qualquer altura. A figura destaca um dos cortes possíveis.
Por que a fórmula do prisma inclinado também é V = Ab · h?
Em um prisma, todo corte paralelo às bases tem a mesma forma e o mesmo tamanho da base. Podemos comparar o prisma inclinado a um prisma reto com a mesma área de base Ab e a mesma altura h. Em qualquer nível, cada seção tem área Ab. Pelo princípio de Cavalieri, ambos têm o volume do prisma reto.
A altura é a distância perpendicular entre as bases. Em um prisma inclinado, a aresta lateral é mais comprida que essa distância.
Exemplo resolvido
Um prisma inclinado tem base de área 24 cm², altura de 8 cm e aresta lateral de 10 cm. Em qualquer corte paralelo às bases, a seção tem área de 24 cm², assim como no prisma reto de mesma base e altura. Logo, o volume é 24 · 8 = 192 cm³.
Como a ideia se estende a outros sólidos?
No cilindro, os cortes paralelos às bases mantêm a área da base, como no prisma. Em cones e pirâmides, eles diminuem em direção ao vértice. Se um cone e uma pirâmide têm bases de áreas iguais e a mesma altura, um corte feito na metade da altura reduz as medidas lineares à metade nos dois sólidos. As áreas ficam iguais a um quarto da área da base. O mesmo raciocínio vale para qualquer altura, então o cone e a pirâmide têm volumes iguais entre si.
Exercícios
- Dois cilindros têm 9 cm de altura. Em ambos, cada corte paralelo às bases tem área de 15 cm². Qual é o volume de cada cilindro?
- Um prisma e uma pirâmide têm bases de áreas iguais e a mesma altura. Compare as áreas dos cortes feitos na metade da altura. Podemos usar Cavalieri para concluir que seus volumes são iguais?
Ver resoluções
- Os cortes têm a mesma área em todos os níveis. O volume de cada cilindro é 15 · 9 = 135 cm³.
- No prisma, a seção tem a área inteira da base. Na pirâmide, as medidas lineares ficam pela metade e a seção tem um quarto da área da base. Como os cortes têm áreas diferentes nesse nível, a condição do princípio de Cavalieri para garantir volumes iguais não é satisfeita.
