📄 Raiz ou zero de um polinômio
📄 Polinômios idênticos e comparação de coeficientes
📄 Operações e fatoração de polinômios
📄 Divisão de polinômios passo a passo
📄 Teorema do resto e teorema de D’Alembert
📄 Resto na divisão por (x − a)(x − b)
📄 Dispositivo de Briot-Ruffini passo a passo
📄 Divisões sucessivas e fatoração de polinômios
📄 Equações polinomiais: fatoração e métodos de resolução
📄 Multiplicidade de uma raiz
📄 Raízes nulas, complexas conjugadas e racionais
📄 Relações de Girard: soma e produto das raízes
📄 Exercícios sobre polinômios e equações polinomiais
Exercícios sobre polinômios e equações polinomiais
Pratique os principais métodos do bloco em 16 exercícios com respostas comentadas, da base aos problemas com raízes e coeficientes.
Antes de começar
Organize os termos por grau e use parênteses nas substituições negativas. Os exercícios avançam da revisão para divisão, raízes e Girard. As respostas comentadas ficam ao final.
Exercício 1 — Grau
Reduza P(x) = 3x³ + 2x² − 3x³ + x − 5 e indique seu grau.
Exercício 2 — Valor numérico
Calcule P(−1) para P(x) = 2x³ − x + 4.
Exercício 3 — Raiz
Verifique se 3 é raiz de P(x) = x² − 4x + 3.
Exercício 4 — Identidade
Se ax² + (b − 2)x + c ≡ 4x² + 3x − 1, encontre a, b e c.
Exercício 5 — Operações
Calcule (x + 3)(x − 2).
Exercício 6 — Divisão
Divida x² + 3x + 5 por x + 1.
Exercício 7 — Teorema do resto
Qual é o resto de x³ − 2x + 1 na divisão por x + 2?
Exercício 8 — D’Alembert
Determine k para que x − 1 seja fator de x³ + kx − 4.
Exercício 9 — Divisor de grau 2
Encontre o resto de x³ na divisão por (x − 1)(x + 1).
Exercício 10 — Ruffini
Divida x³ − 4x² + x + 6 por x − 2.
Exercício 11 — Equação
Resolva x³ − 9x = 0.
Exercício 12 — Biquadrada
Resolva x⁴ − 10x² + 9 = 0.
Exercício 13 — Multiplicidade
Dê as raízes e multiplicidades de x²(x − 2)³(x + 1).
Exercício 14 — Conjugadas
Um polinômio de coeficientes reais tem raiz 2 − 3i. Que outra raiz é garantida?
Exercício 15 — Raízes racionais
Quais raízes racionais pode ter x³ − 2x − 2, de coeficientes inteiros? Teste as candidatas.
Exercício 16 — Girard
Sem resolver x³ − 4x² + 2x + 7 = 0, calcule a soma das raízes, o produto e a soma de seus quadrados.
Respostas comentadas
Resposta do exercício 1
P(x) = 2x² + x − 5; grau 2.
Resposta do exercício 2
P(−1) = −2 + 1 + 4 = 3.
Resposta do exercício 3
P(3) = 9 − 12 + 3 = 0. Sim.
Resposta do exercício 4
a = 4; b − 2 = 3, logo b = 5; c = −1.
Resposta do exercício 5
x² + x − 6.
Resposta do exercício 6
Quociente x + 2, resto 3. Conferência: (x + 1)(x + 2) + 3 = x² + 3x + 5.
Resposta do exercício 7
P(−2) = −8 + 4 + 1 = −3.
Resposta do exercício 8
P(1) = 1 + k − 4 = 0, então k = 3.
Resposta do exercício 9
R(x) = mx + n. Em 1: m + n = 1. Em −1: −m + n = −1. Logo, m = 1 e n = 0: resto x.
Resposta do exercício 10
Coeficientes 1, −4, 1, 6; use 2. Linha final: 1, −2, −3, 0. Quociente x² − 2x − 3; resto zero.
Resposta do exercício 11
x(x − 3)(x + 3) = 0. Soluções: −3, 0 e 3.
Resposta do exercício 12
Com t = x², temos (t − 1)(t − 9) = 0. Soluções: ±1 e ±3.
Resposta do exercício 13
0 tem multiplicidade 2; 2, multiplicidade 3; −1, multiplicidade 1. Grau 6.
Resposta do exercício 14
2 + 3i, com a mesma multiplicidade.
Resposta do exercício 15
Candidatas: ±1 e ±2. Os valores são P(1) = −3, P(−1) = −1, P(2) = 2 e P(−2) = −6. Nenhuma é raiz; portanto, não há raiz racional.
Resposta do exercício 16
Soma 4; produto −7; soma dos produtos dois a dois 2. Soma dos quadrados = 4² − 2 · 2 = 12.
