📄 Raiz de um polinômio
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📄 Divisão de polinômios
📄 Teorema do resto e Teorema de D'Alembert
📄 Divisão de um polinômio por (x-a)(x-b)
📄 Dispositivo de Briot-Ruffini
📄 Divisões sucessivas
📄 Equações polinomiais
📄 Multiplicidade de uma raiz
📄 Raízes nulas, complexas e racionais
📄 Relações de Girard
Raízes nulas, complexas e racionais
Raízes nulas
Toda equação algébrica cujo termo independente é zero admite o número zero como raiz, cuja multiplicidade é igual ao menor expoente da incógnita.
Essas raízes são denominadas raízes nulas.
Exemplos:
Raízes complexas
Vamos resolver a equação algébrica x² -2x + 2 = 0:
É possível demonstrar que, se um número complexo cuja parte imaginária não é nula é raiz de uma equação com coeficientes reais, seu conjugado também é raiz dessa equação.
Consequências:
- O número de raízes complexas de uma equação algébrica de coeficientes reais é necessariamente par;
- Se uma equação algébrica de coeficientes reais for de grau ímpar, ela admitirá pelo menos uma raiz real.
Raízes racionais
Dada uma equação algébrica de coeficientes inteiros 
com 
e 
, se existirem raízes racionais, elas serão da forma 
, com p e q primos entre si, em que p é um divisor de 
e q é divisor de 
.
Por exemplo, na equação 
temos:
Observações:
- Nem todo número obtido é raiz da equação. Após a listagem dos candidatos a raízes racionais temos de fazer a verificação.
- Essa pesquisa de raízes racionais só pode ser feita em equações de coeficientes inteiros.
- Se
= 1, os candidatos a raízes são os divisores de 
. - Se a soma dos coeficientes da equação for igual a zero, o número 1 será raiz da equação.
Exemplo 1
Resolva a equação 
.
Resolução
Como o coeficiente do termo de maior grau é 1, os candidatos a raízes racionais são os divisores do termo independente:
{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}
Vamos fazer a verificação de alguns desses valores:
| P(-6) = 840 (- 6 não é raiz ) | P(6) = 1260 (6 não é raiz ) |
| P(1) = 0 → 1 é raiz | P(-1) = 0 → -1 é raiz |
Como temos uma equação do 4º grau e conhecemos duas de suas raízes, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini obtemos uma equação do 2º grau:
Portanto, a equação 
pode ser escrita como (x - 1)(x + 1).Q(x) = 0, com Q(x) = x² + x – 6. As soluções da equação são -1, 1 e as raízes de Q(x):
Por conseguinte, o conjunto solução da equação 
é:
S = {-3, -1, 1, 2} |
Exemplo 2
Resolva a equação 
:
Resolução
Colocando x em evidência, temos:
Desse modo, uma raiz é 0 e as outras são soluções da equação 
.
Note que em 
todos os coeficientes são inteiros. Como o coeficiente do termo de maior grau é 1, os candidatos a raízes racionais são os divisores do termo independente:
{-3, -1, 1, 3}
Fazendo a verificação:
| P(-3) = 0 → -3 é raiz | P(3) = 120 |
| P(-1) = -8 | P(1) = 0 → 1 é raiz |
Podemos escrever a equação 
da seguinte forma:
Já sabemos que o quociente de 
por x é 
. Agora vamos dividir 
por (x + 3) e esse quociente por (x – 1) para obtermos Q(x):
Q(x) = x² + 1
Portanto, o conjunto solução da equação 
é:
S = {-3, 0, 1, -i, i} |
