Raízes nulas, complexas e racionais

Raízes nulas

Toda equação algébrica cujo termo independente é zero admite o número zero como raiz, cuja multiplicidade é igual ao menor expoente da incógnita.

Essas raízes são denominadas raízes nulas.

Exemplos:


Raízes complexas

Vamos resolver a equação algébrica x² -2x + 2 = 0:

É possível demonstrar que, se um número complexo cuja parte imaginária não é nula é raiz de uma equação com coeficientes reais, seu conjugado também é raiz dessa equação.

Consequências:

  • O número de raízes complexas de uma equação algébrica de coeficientes reais é necessariamente par;
  • Se uma equação algébrica de coeficientes reais  for de grau ímpar, ela admitirá pelo menos uma raiz real.

Raízes racionais

Dada uma equação algébrica de coeficientes inteiros com  e , se existirem raízes racionais, elas serão da forma , com p e q primos entre si, em que p é um divisor de  e q é divisor de .

Por exemplo, na equação temos:


 Observações:

  • Nem todo número obtido é raiz da equação. Após a listagem dos candidatos a raízes racionais temos de fazer a verificação.
  • Essa pesquisa de raízes racionais só pode ser feita em equações de coeficientes inteiros.
  • Se = 1, os candidatos a raízes são os divisores de .
  • Se a soma dos coeficientes da equação for igual a zero, o número 1 será raiz da equação.

Exemplo 1

Resolva a equação .

Resolução

Como o coeficiente do termo de maior grau é 1, os candidatos a raízes racionais são os divisores do termo independente:

 {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

Vamos fazer a verificação de alguns desses valores:

P(-6) = 840 (- 6 não é raiz ) P(6) = 1260 (6 não é raiz )
P(1) = 0 1 é raiz P(-1) = 0-1 é raiz

Como temos uma equação do 4º grau e conhecemos duas de suas raízes, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini obtemos uma equação do 2º grau:

Portanto, a equação pode ser escrita como (x - 1)(x + 1).Q(x) = 0, com Q(x) = x² + x – 6. As soluções da equação são -1, 1 e as raízes de Q(x):

Por conseguinte, o conjunto solução da equação é:

S = {-3, -1, 1, 2}

Exemplo 2

Resolva a equação :

Resolução

Colocando x em evidência, temos:

Desse modo, uma raiz é 0 e as outras são soluções da equação .

Note que em todos os coeficientes são inteiros. Como o coeficiente do termo de maior grau é 1, os candidatos a raízes racionais são os divisores do termo independente:

{-3, -1, 1, 3}

Fazendo a verificação:

P(-3) = 0-3 é raiz P(3) = 120
P(-1) = -8 P(1) = 01 é raiz

 Podemos escrever a equação   da seguinte forma:

Já sabemos que o quociente de  por x é . Agora vamos dividir  por (x + 3) e esse quociente por (x – 1) para obtermos Q(x):


Q(x) = x² + 1

Portanto, o conjunto solução da equação é:

S = {-3, 0, 1, -i, i}
Como referenciar: "Polinômios" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2020. Consultado em 12/07/2020 às 20:45. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/polinomios/polinomios12.php

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