Divisões sucessivas e fatoração de polinômios

Cada fator linear retirado reduz o grau em uma unidade. Assim, uma equação de grau alto pode se transformar em outra mais simples.

Encontrou uma raiz? Reduza o grau

Se a é raiz, o fator x − a pode ser retirado por divisão. Depois, procuramos raízes no quociente. Esse processo é chamado de divisões sucessivas.

Exemplo — fatore P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6

Teste x = 1: P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0. Logo, x − 1 é fator.
Divida por x − 1. Usando os coeficientes 1, −6, 11 e −6, a linha final de Ruffini é 1, −5, 6, 0. O quociente é x² − 5x + 6.
O quociente tem raiz 2: 4 − 10 + 6 = 0. Dividindo por x − 2, obtemos x − 3.
Portanto, P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Raízes: 1, 2 e 3.

Dividendo	Divisor	Quociente
x³ − 6x² + 11x − 6	x − 1	x² − 5x + 6
x² − 5x + 6	x − 2	x − 3
x − 3	x − 3	1

Quando a mesma raiz aparece de novo

Pode acontecer de o quociente continuar tendo a mesma raiz. Por exemplo, x³ − 3x² + 3x − 1 = (x − 1)³. Dividir três vezes por x − 1 dá resto zero em todas elas. Isso está relacionado à multiplicidade da raiz, estudada adiante.

Não pare antes de resolver o quociente

Achar uma raiz de um polinômio de grau 3 não encerra o problema. Após a primeira divisão, ainda resta uma equação de grau 2, que pode ter raízes reais ou complexas.

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Como referenciar: "Polinômios e equações polinomiais" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 05/11/2026 às 09:07. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/polinomios/polinomios9.php

Divisões sucessivas e fatoração de polinômios

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Exemplo — fatore P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6

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