📄 Raiz ou zero de um polinômio
📄 Polinômios idênticos e comparação de coeficientes
📄 Operações e fatoração de polinômios
📄 Divisão de polinômios passo a passo
📄 Teorema do resto e teorema de D’Alembert
📄 Resto na divisão por (x − a)(x − b)
📄 Dispositivo de Briot-Ruffini passo a passo
📄 Divisões sucessivas e fatoração de polinômios
📄 Equações polinomiais: fatoração e métodos de resolução
📄 Multiplicidade de uma raiz
📄 Raízes nulas, complexas conjugadas e racionais
📄 Relações de Girard: soma e produto das raízes
📄 Exercícios sobre polinômios e equações polinomiais
Multiplicidade de uma raiz
Uma raiz pode se repetir na fatoração. A multiplicidade registra quantas vezes seu fator linear aparece.
A raiz aparece quantas vezes?
Se P(x) contém o fator (x − a)m, mas não contém uma potência maior desse fator, dizemos que a é raiz de multiplicidade m. Em outras palavras: P(x) = (x − a)mQ(x), com Q(a) ≠ 0.
Exemplo
A raiz 2 tem multiplicidade 3; a raiz −1 tem multiplicidade 2. O grau é 3 + 2 = 5, embora existam somente duas raízes distintas.
Raiz simples e raiz múltipla
Multiplicidade 1: raiz simples. Multiplicidade 2: raiz dupla. Multiplicidade 3: raiz tripla. O termo “raiz múltipla” vale quando a multiplicidade é maior que 1.
Como isso aparece no gráfico real?
Para polinômios de coeficientes reais, perto de uma raiz real: se a multiplicidade é ímpar, o gráfico atravessa o eixo x e troca de sinal; se é par, toca o eixo x sem trocar de sinal.
Exemplo — identifique a multiplicidade por divisões
- P(x) = x³ − 3x² + 3x − 1. Divida por x − 1: o quociente é x² − 2x + 1, com resto zero.
- Divida o quociente novamente por x − 1: obtemos x − 1, com resto zero.
- Uma terceira divisão dá quociente 1 e resto zero.
- O quociente 1 não tem raiz 1. Logo, a multiplicidade é exatamente 3.
Multiplicidade entra na contagem
Nas relações entre coeficientes e raízes, uma raiz dupla entra duas vezes, uma raiz tripla entra três vezes, e assim por diante.
