📄 Triângulos: ângulos, existência e pontos notáveis
📄 Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
📄 Relações métricas no triângulo retângulo
📄 Quadriláteros: propriedades, diagonais e áreas
📄 Polígonos regulares: ângulos, diagonais e apótema
📄 Circunferência: arcos, ângulos inscritos, cordas e tangentes
📄 Potência de um ponto: secantes, tangentes e cordas
📄 Áreas de figuras planas: triângulos e quadriláteros
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📄 Figuras compostas: áreas, recortes e perímetros
📄 Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
📄 Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
📄 Exercícios de geometria plana para o Ensino Médio
Polígonos regulares: ângulos, diagonais e apótema
Um polígono regular tem todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos iguais. Sua simetria permite calcular ângulos, diagonais e área a partir de poucas informações. Vamos identificar cada elemento antes de usar as fórmulas.
1. Soma dos ângulos internos
Chamamos de n o número de lados, com n ≥ 3. Em qualquer polígono convexo, podemos traçar diagonais a partir de um vértice e dividi-lo em n − 2 triângulos. Como cada triângulo tem soma de 180°, somamos 180° uma vez para cada triângulo.
2. Ângulo interno e ângulo central
O ângulo interno α (alfa) fica em um vértice, entre dois lados. Se o polígono é regular, todos os n ângulos internos são iguais: dividimos a soma S por n.
O ângulo central θ (teta) fica no centro, entre os raios que chegam a dois vértices vizinhos. Os n ângulos centrais iguais completam uma volta de 360°:
Exemplo 1 — ângulos de um decágono regular
- Um decágono tem n = 10 lados. A soma interna é S = (10 − 2) · 180° = 1440°.
- Como os dez ângulos internos são iguais, cada um mede .
- Cada ângulo central mede .
3. Quantas diagonais existem?
Uma diagonal liga dois vértices não vizinhos. De cada vértice de um polígono convexo de n lados, saem n − 3 diagonais: excluímos o próprio vértice e seus dois vizinhos.
Se contarmos n − 3 diagonais para cada um dos n vértices, cada diagonal será contada duas vezes, uma por extremidade. Por isso, dividimos por 2. Usando N para o número total de diagonais:
Exemplo — diagonais do decágono
- Substituímos n por 10: .
- Logo, . O decágono tem 35 diagonais.
4. Raio e apótema: onde cada um termina?
O raio R liga o centro a um vértice. O apótema r liga o centro perpendicularmente a um lado; no polígono regular, ele chega ao ponto médio desse lado. Portanto, raio e apótema são medidas diferentes.
5. Área: some os triângulos em torno do centro
Ligando o centro a todos os vértices, o polígono regular fica dividido em n triângulos iguais. Cada um tem base ℓ (a medida do lado) e altura r (o apótema).
Chamando de p o perímetro, temos p = n · ℓ. Ao somar as áreas dos n triângulos, obtemos:
Em palavras: multiplique o perímetro pelo apótema e divida por 2. A área é expressa em unidades quadradas, como cm² e m².
6. Exemplo — hexágono regular de lado 6 cm
No hexágono regular, o ângulo central é de 60°. Os triângulos formados pelos raios são equiláteros, então o raio também mede 6 cm. O apótema é a altura de um desses triângulos.
Resolução passo a passo
- No triângulo retângulo, r² + 3² = 6². Assim, r² = 36 − 9 = 27.
- Como o apótema é positivo, cm.
- O perímetro é a soma dos seis lados: p = 6 · 6 = 36 cm.
- Usamos a fórmula da área: cm².
- A área exata é cm², aproximadamente 93,53 cm².
Cuidado ao generalizar: a igualdade R = ℓ vale para o hexágono regular. Em outros polígonos regulares, o raio não é necessariamente igual ao lado. A fórmula da área com o apótema vale para todos os polígonos regulares convexos.
