📄 Triângulos: ângulos, existência e pontos notáveis
📄 Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
📄 Relações métricas no triângulo retângulo
📄 Quadriláteros: propriedades, diagonais e áreas
📄 Polígonos regulares: ângulos, diagonais e apótema
📄 Circunferência: arcos, ângulos inscritos, cordas e tangentes
📄 Potência de um ponto: secantes, tangentes e cordas
📄 Áreas de figuras planas: triângulos e quadriláteros
📄 Círculo, arco, setor e coroa circular: comprimentos e áreas
📄 Figuras compostas: áreas, recortes e perímetros
📄 Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
📄 Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
📄 Exercícios de geometria plana para o Ensino Médio
Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
Uma figura pode ser deslocada, girada, espelhada ou ampliada. Cada operação é uma transformação geométrica. Vamos ver o que acontece com a figura inteira e acompanhar um de seus pontos no plano cartesiano.
Nos desenhos, a figura original aparece em azul e a transformada, em laranja. O símbolo P′ (leia “P linha”) indica a nova posição de P. As coordenadas (x, y) mostram a posição horizontal e a vertical de um ponto.
1. Translação: deslocar sem girar
Na translação, todos os pontos percorrem a mesma distância, na mesma direção e no mesmo sentido. A figura desliza e mantém a forma, o tamanho e a orientação. Esse deslocamento comum é representado por um vetor.
Acompanhe o ponto P
- Começamos em P(2, 3).
- Somamos 4 à coordenada horizontal: 2 + 4 = 6. Subtraímos 1 da vertical: 3 − 1 = 2.
- A nova posição é P′(6, 2). A mesma regra vale para todos os outros pontos da figura.
2. Reflexão: espelhar em uma reta
Na reflexão, uma reta funciona como um espelho. Cada ponto e sua imagem ficam à mesma distância dessa reta, em lados opostos. O segmento entre eles é perpendicular ao eixo de reflexão. Pontos sobre o eixo permanecem no mesmo lugar.
Reflexão no eixo x
A posição horizontal é mantida, e a posição vertical troca de sinal. O que estava acima do eixo x passa para baixo, à mesma distância.
Reflexão no eixo y
Agora, a posição vertical é mantida e a horizontal troca de sinal. A figura passa do lado direito para o esquerdo do eixo y.
3. Rotação: girar em torno de um centro
Para definir uma rotação, precisamos de um centro, um ângulo e um sentido de giro. Todos os pontos giram pelo mesmo ângulo e mantêm sua distância ao centro. No exemplo, o centro é a origem O(0, 0), e o giro é de 90° no sentido anti-horário, contrário ao dos ponteiros do relógio.
Acompanhe o ponto P
- Partimos de P(2, 3).
- A nova coordenada x é o oposto da antiga y: −3. A nova coordenada y é a antiga x: 2.
- Portanto, P′(−3, 2). Essa regra é específica para o giro de 90° anti-horário em torno da origem.
4. O que essas três transformações preservam?
Translação, reflexão e rotação são isometrias: preservam distâncias, ângulos, perímetros e áreas. A figura transformada é congruente à original, isto é, tem a mesma forma e o mesmo tamanho.
5. Homotetia: ampliar ou reduzir a partir de um centro
Vamos estudar homotetias de razão positiva k. Escolhemos um centro O e multiplicamos por k a distância de cada ponto a esse centro. O ponto P′ fica na mesma semirreta que sai de O e passa por P. Assim, O, P e P′ ficam alinhados.
Se k > 1, a figura é ampliada; se 0 < k < 1, é reduzida; se k = 1, permanece igual. Com centro na origem, a regra é:
Ampliação de razão k = 2
Exemplo — dobro dos comprimentos
- Com centro O(0, 0) e k = 2, P(3, 1) passa a P′(6, 2), pois multiplicamos as duas coordenadas por 2.
- Cada lado e o perímetro dobram.
- A área é multiplicada por k² = 2² = 4: fica quatro vezes maior.
Redução de razão
Na redução, P(6, 2) passa a P′(3, 1). Todos os comprimentos, inclusive o perímetro, ficam reduzidos à metade. A área fica multiplicada por , ou seja, passa a ser um quarto da original.
Congruência e semelhança
Congruentes: mesma forma e mesmo tamanho, como nas isometrias. Semelhantes: mesma forma, com comprimentos correspondentes proporcionais, como nas ampliações e reduções por homotetia. Uma homotetia de razão positiva diferente de 1 preserva os ângulos, mas altera os comprimentos.
