📄 Triângulos: ângulos, existência e pontos notáveis
📄 Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
📄 Relações métricas no triângulo retângulo
📄 Quadriláteros: propriedades, diagonais e áreas
📄 Polígonos regulares: ângulos, diagonais e apótema
📄 Circunferência: arcos, ângulos inscritos, cordas e tangentes
📄 Potência de um ponto: secantes, tangentes e cordas
📄 Áreas de figuras planas: triângulos e quadriláteros
📄 Círculo, arco, setor e coroa circular: comprimentos e áreas
📄 Figuras compostas: áreas, recortes e perímetros
📄 Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
📄 Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
📄 Exercícios de geometria plana para o Ensino Médio
Triângulos: ângulos, existência e pontos notáveis
Um triângulo tem três lados, três vértices e três ângulos internos. Vamos ver como essas medidas se relacionam e como reconhecer os segmentos e os pontos especiais da figura, um de cada vez.
1. Ângulos internos e externos
Os ângulos internos ficam dentro do triângulo, um em cada vértice. Sua soma é sempre 180°. Um ângulo externo aparece quando prolongamos um dos lados.
O externo e o interno ao lado dele completam um ângulo de 180°: no desenho, 120° + 60° = 180°. Assim, o ângulo externo também é igual à soma dos dois internos não adjacentes, ou seja, aqueles que não estão no mesmo vértice.
Exemplo — ângulos x, 2x e 3x
- Somamos os três: x + 2x + 3x = 180°.
- Logo, 6x = 180° e x = 30°.
- Os ângulos são 30°, 60° e 90°, como na figura. Por ter um ângulo de 90°, o triângulo é retângulo.
2. Quando três segmentos formam um triângulo?
Imagine três varetas que precisam fechar um contorno. A soma dos dois lados menores deve ser maior que o lado maior. Se for igual, as varetas ficam alinhadas; se for menor, não conseguem fechar a figura.
Se dois lados medem b e c, o terceiro lado a precisa ser maior que a diferença entre eles e menor que a soma:
As barras em |b − c| indicam o valor absoluto: usamos a diferença positiva entre as medidas.
Exemplo — lados 5, 8 e x
- A diferença entre os lados conhecidos é 8 − 5 = 3; a soma é 8 + 5 = 13.
- Portanto, 3 < x < 13. Por exemplo, x = 6 é possível.
- Os valores x = 3 e x = 13 não são permitidos: os segmentos ficam alinhados.
3. Altura: forma um ângulo reto com a base
Escolha um lado como base. A altura relativa a essa base é o segmento que sai do vértice oposto e chega à reta da base formando 90°. Ela mede a distância perpendicular entre o vértice e essa reta.
Em um triângulo obtusângulo (com um ângulo maior que 90°), algumas alturas ficam fora da figura. Nesses casos, prolongamos o lado para encontrar o pé da altura, como abaixo.
4. Mediana: vai até a metade do lado
A mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. No desenho, M divide AB em duas partes iguais: AM = MB. A mediana não precisa formar 90° com o lado.
5. Bissetriz: divide o ângulo ao meio
A bissetriz interna sai de um vértice e divide seu ângulo em dois ângulos de mesma medida. Ela encontra o lado oposto em um ponto D, que não precisa ser o ponto médio desse lado.
Como distinguir? Na altura, procure o ângulo de 90°. Na mediana, procure as duas metades iguais do lado. Na bissetriz, procure as duas metades iguais do ângulo. Em um triângulo qualquer, são segmentos diferentes.
6. No triângulo isósceles, os três podem coincidir
No triângulo isósceles, dois lados têm o mesmo comprimento. O segmento que liga o vértice entre esses lados ao ponto médio da base é, ao mesmo tempo, altura, mediana e bissetriz.
7. Baricentro: encontro das medianas
Todo triângulo tem três medianas, uma saindo de cada vértice. Elas se encontram em um único ponto, o baricentro G, que fica sempre dentro da figura.
O baricentro divide cada mediana na razão 2:1, a partir do vértice. Isso significa que o trecho do vértice até G é duas vezes o trecho de G até o ponto médio.
Exemplo — mediana de 12 cm
- Pense em três partes iguais: 12 ÷ 3 = 4 cm por parte.
- Do vértice até G são duas partes: 2 · 4 = 8 cm.
- De G ao ponto médio é uma parte: 4 cm.
8. Incentro: encontro das bissetrizes
As três bissetrizes internas se encontram no incentro I. Ele fica sempre dentro do triângulo e tem a mesma distância perpendicular aos três lados. Por isso, é o centro da circunferência inscrita, que toca os três lados por dentro.
9. Circuncentro: encontro das mediatrizes
A mediatriz de um lado é a reta perpendicular a ele que passa pelo seu ponto médio. Ela não precisa passar pelo vértice oposto. As três mediatrizes se encontram no circuncentro O, que está à mesma distância dos três vértices.
O circuncentro fica dentro de um triângulo acutângulo, no ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo e fora de um triângulo obtusângulo.
10. Ortocentro: encontro das alturas
As três alturas, ou seus prolongamentos, se encontram no ortocentro H. Ele fica dentro do triângulo acutângulo; no vértice do ângulo reto, no triângulo retângulo; e fora do triângulo obtusângulo.
Resumo: qual construção encontra cada ponto?
| Ponto | Encontro de | O que observar |
|---|---|---|
| Baricentro | Medianas | Divisão 2:1 de cada mediana |
| Incentro | Bissetrizes internas | Circunferência que toca os lados |
| Circuncentro | Mediatrizes | Circunferência que passa pelos vértices |
| Ortocentro | Alturas ou prolongamentos | Perpendiculares a partir dos vértices |
