📄 Triângulos: ângulos, existência e pontos notáveis
📄 Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
📄 Relações métricas no triângulo retângulo
📄 Quadriláteros: propriedades, diagonais e áreas
📄 Polígonos regulares: ângulos, diagonais e apótema
📄 Circunferência: arcos, ângulos inscritos, cordas e tangentes
📄 Potência de um ponto: secantes, tangentes e cordas
📄 Áreas de figuras planas: triângulos e quadriláteros
📄 Círculo, arco, setor e coroa circular: comprimentos e áreas
📄 Figuras compostas: áreas, recortes e perímetros
📄 Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
📄 Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
📄 Exercícios de geometria plana para o Ensino Médio
Relações métricas no triângulo retângulo
Além de Pitágoras, a altura relativa à hipotenusa revela outras relações. Vamos identificar as medidas na figura antes de apresentar as fórmulas.
Identifique cada medida
Na figura, BC = a é a hipotenusa; AC = b e AB = c são os catetos; AH = h é a altura relativa à hipotenusa. As projeções dos catetos são HC = n e BH = m.
O que significa projeção? Imagine “baixar” o ponto A perpendicularmente até a hipotenusa: ele chega a H. O cateto AB corresponde ao trecho BH, chamado m; o cateto AC corresponde a HC, chamado n. Portanto, cada cateto deve ser associado à sua própria projeção.
| Relação | Como ler |
|---|---|
| a = m + n | A hipotenusa inteira é a soma dos dois trechos BH e HC. |
| a² = b² + c² | Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. |
| c² = a · m | O cateto c = AB usa sua projeção m = BH. |
| b² = a · n | O cateto b = AC usa sua projeção n = HC. |
| h² = m · n | O quadrado da altura é o produto das duas projeções. |
| a · h = b · c | O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. |
Por que essas relações funcionam?
A altura AH forma dois triângulos menores dentro de ABC: ABH e ACH. Cada um tem um ângulo reto em H e um ângulo agudo em comum com o triângulo original. Portanto, os três são semelhantes pelo caso AA.
Abaixo, os triângulos foram separados e girados. As letras dos lados são as mesmas da primeira figura: um mesmo segmento conserva sua medida, mesmo quando passa a ser a hipotenusa de um triângulo menor.
Original: ABC
Menor: ABH
Menor: ACH
Como obter c² = a · m
Compare o triângulo original ABC com o menor ABH. As hipotenusas correspondentes são a e c. Os lados horizontais dos desenhos correspondem a c e m. Dividindo sempre uma medida do menor pela correspondente do original:
Multiplicando os dois lados por a · c, obtemos c · c = a · m, ou seja, c² = a · m. O cateto c usa a projeção m que está junto dele na hipotenusa original.
Como obter b² = a · n
Agora compare ABC com ACH. As hipotenusas são a e b; os lados verticais dos desenhos são b e n. Mantendo a mesma ordem:
Multiplicando pelos denominadores, temos b · b = a · n, logo b² = a · n.
Como obter h² = m · n
Compare os dois triângulos menores, ABH e ACH. Nos desenhos, seus lados horizontais são m e h; seus lados verticais são h e n. A semelhança fornece:
Multiplicando pelos denominadores, temos m · n = h · h. Portanto, h² = m · n.
A mesma área, calculada de duas formas
Como os catetos b e c são perpendiculares, um pode ser a base e o outro a altura. Se escolhermos a hipotenusa a como base, a altura correspondente é h. As duas escolhas calculam a área do mesmo triângulo:
Exemplo 1 — catetos de 6 cm e 8 cm
Conhecemos os catetos e queremos encontrar a hipotenusa, a altura e as projeções. A figura abaixo mostra as medidas obtidas na resolução.
Resolução passo a passo
- Os catetos medem 6 cm e 8 cm. Por Pitágoras: a² = 36 + 64 = 100, então a = 10 cm.
- Use ah = bc: 10h = 6 · 8, logo cm.
- As projeções são cm e cm.
- Conferência: 3,6 + 6,4 = 10 e 3,6 · 6,4 = 23,04 = 4,8².
Exemplo 2 — projeções de 4 cm e 9 cm
Agora conhecemos os dois trechos da hipotenusa. Primeiro somamos esses trechos; depois usamos as relações métricas para encontrar a altura e os catetos.
Resolução passo a passo
- Se m = 4 cm e n = 9 cm, então a = 13 cm.
- A altura satisfaz h² = 4 · 9 = 36: h = 6 cm.
- Para o cateto c, usamos c² = am: c² = 13 · 4 = 52. Como um comprimento é positivo, cm.
- Para o cateto b, usamos b² = an: b² = 13 · 9 = 117. Assim, cm.
Atenção à hipotenusa
O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, mesmo se o desenho estiver girado. Não é necessariamente o lado de baixo da figura.
