📄 Triângulos: ângulos, existência e pontos notáveis
📄 Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
📄 Relações métricas no triângulo retângulo
📄 Quadriláteros: propriedades, diagonais e áreas
📄 Polígonos regulares: ângulos, diagonais e apótema
📄 Circunferência: arcos, ângulos inscritos, cordas e tangentes
📄 Potência de um ponto: secantes, tangentes e cordas
📄 Áreas de figuras planas: triângulos e quadriláteros
📄 Círculo, arco, setor e coroa circular: comprimentos e áreas
📄 Figuras compostas: áreas, recortes e perímetros
📄 Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
📄 Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
📄 Exercícios de geometria plana para o Ensino Médio
Quadriláteros: propriedades, diagonais e áreas
Quadriláteros são figuras de quatro lados. Para resolver problemas com eles, vamos reconhecer cada tipo, observar suas diagonais e identificar a base e a altura antes de calcular a área.
1. Paralelogramo: dois pares de lados paralelos
No paralelogramo, os lados opostos são paralelos e têm a mesma medida. As diagonais ligam vértices opostos e se cortam ao meio: o ponto de encontro divide cada uma em duas partes iguais.
A altura h mede a distância perpendicular entre a base e o lado oposto. O lado inclinado não representa essa altura.
2. Retângulo: quatro ângulos retos
O retângulo é um paralelogramo com quatro ângulos de 90°. Suas diagonais têm o mesmo comprimento e se cortam ao meio. Como os lados vizinhos são perpendiculares, um deles pode ser a base e o outro a altura.
3. Losango: quatro lados iguais
O losango é um paralelogramo com os quatro lados de mesma medida. Suas diagonais se cortam ao meio e são perpendiculares. Chamaremos de D a diagonal maior e de d a menor.
Multiplique as duas diagonais e divida o resultado por 2. Essa fórmula usa os comprimentos das diagonais inteiras.
4. Quadrado: lados iguais e ângulos retos
O quadrado reúne as propriedades do retângulo e do losango: tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Suas diagonais são iguais, perpendiculares e se cortam ao meio. Usaremos ℓ para representar a medida de cada lado.
5. Trapézio: um par de lados paralelos
Neste material, chamamos de trapézio o quadrilátero com exatamente um par de lados paralelos. Esses lados são as bases: B é a maior e b é a menor. A altura h é a distância perpendicular entre as retas das bases.
Some as duas bases, multiplique pela altura e divida por 2. A letra A representa a área em todas as fórmulas desta página.
Exemplo — área de um trapézio
- Para B = 12 cm, b = 8 cm e h = 5 cm, somamos as bases: 12 + 8 = 20 cm.
- Então, cm².
Convenção: alguns materiais definem trapézio como um quadrilátero com “pelo menos um par de lados paralelos”. Aqui adotamos “exatamente um par”.
6. Ângulos internos
A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero simples é 360°. Uma diagonal o divide em dois triângulos; cada um tem soma de 180°. No paralelogramo, os ângulos opostos são iguais e os vizinhos somam 180°.
7. Exemplo — descubra a altura do paralelogramo
Um paralelogramo tem base de 12 cm e lado inclinado de 5 cm. A projeção horizontal desse lado mede 3 cm. Queremos descobrir a altura e a área.
Resolução passo a passo
- No triângulo retângulo lateral, aplicamos Pitágoras: h² + 3² = 5².
- Assim, h² = 25 − 9 = 16. Como h é um comprimento positivo, h = 4 cm.
- A área é base vezes altura: A = 12 · 4 = 48 cm². Usar 12 · 5 daria um resultado incorreto, pois 5 cm é a medida do lado inclinado.
8. Exemplo — área e perímetro de um losango
As diagonais de um losango medem 16 cm e 12 cm. Além da área, queremos descobrir seu perímetro, isto é, a soma das medidas dos quatro lados.
Resolução passo a passo
- Área: cm².
- Para achar o lado ℓ, usamos o triângulo destacado: ℓ² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- Logo, cm.
- Os quatro lados são iguais, então o perímetro é P = 4 · 10 = 40 cm.
Área e perímetro medem coisas diferentes. Área mede a região interna, em cm² ou m²; perímetro mede o contorno, em cm ou m. Antes de calcular, confira qual dessas medidas o enunciado pede.
