📄 Triângulos: ângulos, existência e pontos notáveis
📄 Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
📄 Relações métricas no triângulo retângulo
📄 Quadriláteros: propriedades, diagonais e áreas
📄 Polígonos regulares: ângulos, diagonais e apótema
📄 Circunferência: arcos, ângulos inscritos, cordas e tangentes
📄 Potência de um ponto: secantes, tangentes e cordas
📄 Áreas de figuras planas: triângulos e quadriláteros
📄 Círculo, arco, setor e coroa circular: comprimentos e áreas
📄 Figuras compostas: áreas, recortes e perímetros
📄 Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
📄 Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
📄 Exercícios de geometria plana para o Ensino Médio
Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
Figuras semelhantes têm a mesma forma, embora possam ter tamanhos diferentes. Conhecendo a proporção entre elas, podemos descobrir lados e áreas sem medir tudo. Vamos começar identificando quais medidas devem ser comparadas.
1. Semelhança: compare os lados correspondentes
Dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Na figura abaixo, DE é paralelo a BC. O triângulo menor ADE tem a mesma forma que o maior ABC.
Escrevemos ADE ∼ ABC, em que ∼ significa “é semelhante a”. A ordem das letras mostra quais vértices se correspondem: A ↔ A, D ↔ B e E ↔ C. Assim, comparamos sempre:
| Lado do menor | Lado correspondente do maior |
|---|---|
| AD | AB |
| AE | AC |
| DE | BC |
O número k é a razão de semelhança. Aqui, usamos sempre medida do menor dividida pela medida do maior. Você pode usar a ordem inversa, mas deve mantê-la em toda a proporção.
2. Casos de semelhança: o que basta verificar?
Não é necessário conferir todos os ângulos e todos os lados. Cada um dos três critérios a seguir já permite concluir que dois triângulos são semelhantes.
AA — dois ângulos iguais
Se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro, o terceiro também será igual, pois a soma é 180°. Isso garante a mesma forma.
LAL — dois lados proporcionais e o ângulo entre eles igual
LAL significa lado–ângulo–lado. Comparamos dois pares de lados e verificamos o ângulo formado entre eles. Na figura, esse ângulo é de 90° nos dois triângulos.
LLL — três pares de lados proporcionais
LLL significa lado–lado–lado. Se a razão é a mesma para os três pares de lados correspondentes, os triângulos são semelhantes.
3. Exemplo — descubra a base menor
Agora usamos a semelhança para descobrir uma medida. No desenho, DE ∥ BC, AD = 6 cm, AB = 10 cm e BC = 15 cm. Queremos encontrar DE = x.
Resolução passo a passo
- Os lados correspondentes são AD e AB; DE e BC. Assim, .
- Substituímos os valores: .
- A razão do menor para o maior é . Multiplicamos a base maior por essa razão: .
- Portanto, DE = 9 cm.
4. Teorema de Tales: proporção entre trechos
Quando retas paralelas cortam duas retas transversais, elas determinam trechos correspondentes proporcionais. Na figura abaixo, r, s e t são paralelas; a reta vertical e a reta inclinada são as transversais.
A mesma ideia se aplica ao triângulo com uma paralela à base. Podemos comparar os trechos de cima com os trechos de baixo, mantendo essa escolha nos dois lados:
Não misture parte e todo. compara um trecho com o lado inteiro; compara dois trechos. As duas escolhas podem ser usadas, mas exigem correspondências diferentes: ou .
5. Comprimentos mudam por k; áreas, por k²
Em figuras semelhantes, todos os comprimentos são multiplicados pela mesma razão k. Isso inclui lados, alturas e perímetros. Já a área depende de duas medidas de comprimento: por exemplo, base e altura. Como ambas mudam por k, a área muda por k · k = k².
Exemplo — área do triângulo menor
- A área do maior é 100 cm². A razão dos comprimentos, do menor para o maior, é .
- Elevamos a razão ao quadrado para comparar áreas: .
- Multiplicamos a área maior por essa razão: . A área do menor é 16 cm².
Confira a ordem da comparação. Se os lados do maior têm o dobro dos lados do menor, o perímetro também dobra, mas a área fica quatro vezes maior. A regra k² vale para figuras semelhantes; conhecer apenas um par de lados não garante essa relação para figuras quaisquer.
