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📄 Semelhança e Tales: proporções e razão entre áreas
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📄 Áreas de figuras planas: triângulos e quadriláteros
📄 Círculo, arco, setor e coroa circular: comprimentos e áreas
📄 Figuras compostas: áreas, recortes e perímetros
📄 Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
📄 Transformações geométricas: simetria, rotação e homotetia
📄 Exercícios de geometria plana para o Ensino Médio
Escalas e semelhança: comprimentos, perímetros e áreas
Uma planta representa um espaço grande em um desenho pequeno. A escala informa quanto cada comprimento foi reduzido. Vamos ver como passar das medidas do desenho para as reais e por que uma área exige um cálculo diferente.
1. Como ler uma escala?
Na escala 1:100 (leia “um para cem”), cada unidade de comprimento no desenho representa 100 unidades na realidade. Por exemplo, 1 cm no desenho representa 100 cm, ou 1 m, na realidade.
Chamando a escala de E, sua definição é:
Antes de dividir, escreva as duas medidas na mesma unidade. Por exemplo, 2 cm no desenho para 2 m na realidade significa comparar 2 cm com 200 cm:
2. Exemplo — parede na escala 1:200
Uma parede mede 4 cm na planta. Como cada centímetro representa 200 cm reais, multiplicamos 4 por 200 para descobrir seu comprimento real.
Resolução passo a passo
- A medida real é 4 · 200 = 800 cm.
- Para converter centímetros em metros, dividimos por 100: 800 ÷ 100 = 8 m.
- Conferência: , que corresponde à escala indicada.
No sentido contrário, se a parede mede 8 m na realidade, primeiro convertemos: 8 m = 800 cm. Depois dividimos por 200: o desenho terá 4 cm.
3. Por que a área usa o quadrado da escala?
A escala atua em cada comprimento. Em um retângulo, mudam tanto a largura quanto o comprimento. Se cada um é multiplicado por 3, a área é multiplicada por 3 · 3 = 9.
Na escala 1:n, n é o número de vezes que cada comprimento real é maior que o correspondente no desenho. Assim:
Mantenha as unidades correspondentes: se a área do desenho está em cm², multiplicar por n² fornece a área real em cm². Só depois faça a conversão para m², se necessário.
4. Exemplo — área de um cômodo na escala 1:100
O cômodo ocupa 12 cm² na planta. Para visualizar essa área, imagine que ele seja um retângulo de 3 cm por 4 cm. Na escala 1:100, essas medidas representam 3 m por 4 m reais.
Resolução usando a área fornecida
- O fator entre comprimentos reais e desenhados é 100. Entre áreas, o fator é 100² = 10 000.
- A área real é 12 · 10 000 = 120 000 cm².
- Como 1 m = 100 cm, um quadrado de 1 m de lado tem 100 · 100 = 10 000 cm².
- Portanto, . A área real é 12 m².
Por que apareceu o mesmo número 12? Nesta escala específica, cada 1 cm² da planta corresponde a 1 m² real. O número coincide porque também mudamos a unidade. Isso não significa que a escala não alterou a área.
5. Ampliação e redução de figuras semelhantes
Chamamos de k a razão entre um comprimento da nova figura e o comprimento correspondente da original:
Se k > 1, há ampliação; se 0 < k < 1, há redução; se k = 1, o tamanho é mantido. Em figuras semelhantes, todos os comprimentos mudam na mesma proporção. Por isso:
Exemplo — redução à metade em cada dimensão
Um retângulo de 8 cm por 4 cm é reduzido à metade na largura e na altura. A nova figura mede 4 cm por 2 cm.
Compare perímetro e área
- O perímetro original é 2 · (8 + 4) = 24 cm. O novo é 2 · (4 + 2) = 12 cm: a metade.
- A área original é 8 · 4 = 32 cm². A nova é 4 · 2 = 8 cm².
- A razão entre as áreas é , que corresponde a .
6. E se conhecermos apenas a razão entre as áreas?
Para figuras semelhantes, a razão entre áreas é k². Para recuperar a razão entre comprimentos, extraímos a raiz quadrada positiva:
Por exemplo, se a área nova é nove vezes a original, . Portanto, os comprimentos e o perímetro triplicam.
Antes de calcular: identifique o sentido da comparação (desenho para real ou original para nova), iguale as unidades e confira se o problema pede comprimento, perímetro ou área. Use o fator linear para comprimentos e perímetros; use seu quadrado para áreas.
