Propriedades dos radicais

As propriedades dos radicais ajudam a transformar e simplificar expressões. Nas raízes de índice par, os radicandos devem ser não negativos; em um quociente, o denominador também deve ser diferente de zero.

Produto de radicais de mesmo índice

Exemplo: $\sqrt{\text{2}}$ · $\sqrt{\text{8}}$ = $\sqrt{\text{16}}$ = 4.

Quociente de radicais de mesmo índice

Exemplo: $\sqrt{\text{75}}$ / $\sqrt{\text{3}}$ = $\sqrt{\text{25}}$ = 5.

Potência e raiz

Quando a operação está definida, ($\sqrt[\text{n}]{\text{a}}$)ⁿ = a. Entretanto, ao inverter a ordem, é preciso observar o índice:

• se n é par, $\sqrt[\text{n}]{\text{aⁿ}}$ = |a|;
• se n é ímpar, $\sqrt[\text{n}]{\text{aⁿ}}$ = a.

Por exemplo, $\sqrt{\text{(-5)²}}$ = $\sqrt{\text{25}}$ = 5 = |-5|.

Ampliação do índice e do expoente

Podemos multiplicar o índice do radical e o expoente do radicando pelo mesmo número natural positivo: $\sqrt[\text{n}]{\text{aᵐ}}$ = $\sqrt[\text{n·p}]{\text{a^(m·p)}}$. Essa propriedade permite reduzir radicais a um índice comum.

Cuidado: a raiz não se distribui em uma soma. Em geral, $\sqrt{\text{a + b}}$ ≠ $\sqrt{\text{a}}$ + $\sqrt{\text{b}}$. Por exemplo, $\sqrt{\text{9 + 16}}$ = 5, enquanto $\sqrt{\text{9}}$ + $\sqrt{\text{16}}$ = 7.

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