📄 Intervalos e conjunto solução na reta real
📄 Estudo do sinal de uma expressão do 1º grau
📄 Inequações do 2º grau com duas raízes reais
📄 Raiz dupla e ausência de raízes nas inequações quadráticas
📄 Inequações produto e fatores repetidos
📄 Inequações quociente: sinais e restrições do denominador
📄 Sistemas de inequações e interseção de intervalos
📄 Problemas com inequações: lucro, área e restrições
📄 Exercícios de inequações algébricas com respostas comentadas
Exercícios de inequações algébricas com respostas comentadas
Confira sua compreensão com questões que avançam do 1º grau ao estudo de sinais e aos problemas. Cada enunciado apresenta as condições necessárias, e as respostas explicam os pontos decisivos.
Instruções
Todos os exercícios algébricos pedem soluções reais. Nos problemas, respeite as restrições descritas. Antes de ver o gabarito, anote zeros e valores proibidos, monte o quadro de sinais e represente sua solução em intervalos.
Exercício 1
Resolva, em ℝ, −3x + 6 > 0.
Exercício 2
Represente em intervalo os reais x tais que −2 < x ≤ 5.
Exercício 3
Resolva, em ℝ, x² − 7x + 10 < 0.
Exercício 4
Resolva, em ℝ, x² − 7x + 10 ≥ 0.
Exercício 5
Resolva, em ℝ, −x² + 4x + 5 > 0.
Exercício 6
Resolva, em ℝ, (x + 3)² ≤ 0.
Exercício 7
Resolva, em ℝ, (x + 3)² > 0.
Exercício 8
Resolva, em ℝ, x² + 4 < 0.
Exercício 9
Resolva, em ℝ, −x² − 4 ≤ 0.
Exercício 10
Resolva, em ℝ, (x − 4)(x + 1) > 0.
Exercício 11
Resolva, em ℝ, (x − 2)²(x + 1) ≤ 0.
Exercício 12
Resolva, em ℝ, ≤ 0.
Exercício 13
Resolva, em ℝ, > 0.
Exercício 14
Resolva, em ℝ, ≥ 0.
Exercício 15
Resolva, em ℝ, < 0.
Exercício 16
Resolva o sistema, em ℝ: x² − 4 ≤ 0 e x > 0.
Exercício 17
Resolva o sistema, em ℝ: x < 1 e x ≥ 4.
Exercício 18
Um retângulo tem largura x metros e comprimento x + 2 metros. Determine as larguras reais positivas para as quais sua área é no máximo 15 m².
Exercício 19
Um modelo de lucro é L(x) = −x² + 8x − 12 reais, em que x é uma quantidade inteira entre 0 e 8. Para quais valores de x o lucro é positivo?
Exercício 20
Resolva, em ℝ, > 1.
Respostas comentadas
Resposta do exercício 1
Dividindo −3x > −6 por −3, invertemos o sinal: x < 2. S = (−∞, 2).
Resposta do exercício 2
−2 fica fora e 5 entra: S = (−2, 5].
Resposta do exercício 3
Fatoração: (x − 2)(x − 5). A parábola abre para cima e é negativa entre as raízes: S = (2, 5).
Resposta do exercício 4
As raízes são 2 e 5. Queremos a parte positiva e os zeros: S = (−∞, 2] ∪ [5, +∞).
Resposta do exercício 5
As raízes são −1 e 5. A concavidade é para baixo: S = (−1, 5).
Resposta do exercício 6
Um quadrado só pode ser ≤ 0 se for zero. x + 3 = 0, logo S = {−3}.
Resposta do exercício 7
O quadrado é positivo, exceto em −3: S = (−∞, −3) ∪ (−3, +∞).
Resposta do exercício 8
Como x² ≥ 0, temos x² + 4 ≥ 4. Nenhum real serve: S = ∅.
Resposta do exercício 9
A expressão é sempre negativa: S = ℝ.
Resposta do exercício 10
Os fatores têm o mesmo sinal para x < −1 ou x > 4: S = (−∞, −1) ∪ (4, +∞).
Resposta do exercício 11
O quadrado é positivo fora de 2. O produto é negativo para x < −1 e zero em −1 e 2. S = (−∞, −1] ∪ {2}.
Resposta do exercício 12
Domínio: x ≠ −1. A fração é negativa entre −1 e 3 e zero em 3: S = (−1, 3].
Resposta do exercício 13
Domínio: x ≠ 5. Numerador e denominador têm o mesmo sinal para x < −2 ou x > 5. S = (−∞, −2) ∪ (5, +∞).
Resposta do exercício 14
O domínio original exclui 2. Simplificando para x ≠ 2, resolvemos x + 1 ≥ 0. S = [−1, 2) ∪ (2, +∞).
Resposta do exercício 15
O numerador é positivo. Para a fração ser negativa, x − 2 < 0. S = (−∞, 2). O zero do denominador não entra.
Resposta do exercício 16
A primeira solução é [−2, 2]; a segunda é (0, +∞). A interseção é S = (0, 2].
Resposta do exercício 17
As condições não têm valores comuns: S = ∅.
Resposta do exercício 18
x > 0 e x(x + 2) ≤ 15. Temos (x + 5)(x − 3) ≤ 0, que dá [−5, 3]. No contexto, 0 < x ≤ 3 m.
Resposta do exercício 19
As raízes são 2 e 6, e a parábola abre para baixo. L(x) > 0 para 2 < x < 6. As quantidades inteiras são 3, 4 e 5.
Resposta do exercício 20
Domínio: x ≠ 2. Subtraindo 1, obtemos > 0. O numerador é positivo, então x > 2. S = (2, +∞).
