📄 Intervalos e conjunto solução na reta real
📄 Estudo do sinal de uma expressão do 1º grau
📄 Inequações do 2º grau com duas raízes reais
📄 Raiz dupla e ausência de raízes nas inequações quadráticas
📄 Inequações produto e fatores repetidos
📄 Inequações quociente: sinais e restrições do denominador
📄 Sistemas de inequações e interseção de intervalos
📄 Problemas com inequações: lucro, área e restrições
📄 Exercícios de inequações algébricas com respostas comentadas
Raiz dupla e ausência de raízes nas inequações quadráticas
Nem toda parábola cruza o eixo x em dois pontos. Vamos estudar os casos em que ela apenas toca o eixo ou não o encontra, sem forçar um quadro de sinais com raízes que não existem.
Use o discriminante para saber quantas raízes existem
Para f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, chamamos de discriminante o número Δ = b² − 4ac (leia “delta”). Se Δ > 0, há duas raízes reais distintas; se Δ = 0, há uma raiz real dupla; se Δ < 0, não há raiz real.
A fórmula das raízes reais só é usada quando Δ ≥ 0. Ao obter duas raízes, coloque-as em ordem crescente antes de montar o quadro.
Raiz dupla: a parábola toca o eixo
Considere f(x) = x² − 4x + 4 = (x − 2)². O zero é 2. Como um quadrado nunca é negativo, f(x) > 0 em todos os outros pontos.
| Expressão | x < 2 | 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| (x − 2)² | + | 0 | + |
Quatro perguntas, quatro respostas
- (x − 2)² > 0: todos os reais, exceto 2. S = (−∞, 2) ∪ (2, +∞).
- (x − 2)² ≥ 0: S = ℝ.
- (x − 2)² < 0: S = ∅.
- (x − 2)² ≤ 0: só a igualdade é possível. S = {2}.
Sem raízes reais: a curva não cruza o eixo
Em f(x) = x² + 1, temos Δ = −4. Como x² ≥ 0, a expressão é sempre pelo menos 1, portanto estritamente positiva.
Exemplo — x² + 1 ≤ 0
- Para todo real x, x² + 1 ≥ 1.
- Não pode ser menor ou igual a zero. Portanto, S = ∅.
Se não há raízes reais, o sinal da expressão quadrática é sempre o mesmo de a. Assim, −x² − 1 é sempre negativa. Para −x² − 1 < 0, a solução é ℝ; para −x² − 1 ≥ 0, é ∅.
Cheque o grau
Se o coeficiente de x² for zero, a expressão não é do 2º grau. Nesse caso, não use a regra da parábola nem a fórmula de Bhaskara: simplifique e resolva a expressão que restou.
