Inequações produto e fatores repetidos

Uma expressão fatorada permite estudar cada parte separadamente. Vamos combinar sinais e decidir quais raízes pertencem à solução, incluindo o caso de fatores elevados ao quadrado.

Multiplique sinais, não os intervalos

Em uma inequação produto, estudamos cada fator. Dois fatores de mesmo sinal têm produto positivo; de sinais diferentes, negativo. Se algum fator é zero, o produto é zero.

Exemplo — (x − 1)(x + 2) ≤ 0

Encontre os pontos críticos

O fator x − 1 zera em 1. O fator x + 2 zera em −2.
Em ordem crescente, os pontos são −2 e 1. Eles dividem a reta em três intervalos.
Em cada coluna, combinamos os sinais dos dois fatores.

Expressão	x < -2	-2	-2 < x < 1	1	x > 1
x − 1	−	−	−	0	+
x + 2	−	0	+	+	+
Produto	+	0	−	0	+

O produto é negativo entre −2 e 1 e vale zero nos dois extremos. Como a pergunta é ≤ 0, aceitamos as três situações:

S = [−2, 1]. As duas raízes entram, pois zeram o produto.

Por que basta um teste em cada intervalo?

Cada fator linear só troca de sinal em seu zero. Entre dois pontos críticos, nenhum fator zera; por isso, seus sinais permanecem os mesmos. Por exemplo, entre −2 e 1 podemos testar x = 0: (0 − 1)(0 + 2) = −2.

Fator repetido: não alterne sinais automaticamente

Resolva (x − 1)²(x + 2) > 0. O quadrado é positivo para x ≠ 1 e zera em 1. Ele nunca é negativo. Portanto, não troca de sinal em sua raiz.

Expressão	x < -2	-2	-2 < x < 1	1	x > 1
(x − 1)²	+	+	+	0	+
x + 2	−	0	+	+	+
Produto	−	0	+	0	+

S = (−2, 1) ∪ (1, +∞). O valor 1 é retirado porque zera o produto, e pedimos > 0.

Não divida por um fator sem conhecer seu sinal

Em (x − 1)(x + 2) ≤ 0, dividir por x − 1 exigiria tratar separadamente x < 1, x = 1 e x > 1. O quadro organiza esses casos sem descartar soluções ou inverter sinais indevidamente.

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Como referenciar: "Inequações algébricas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 02/11/2026 às 04:23. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/inequacoes-algebricas/inequacoes6.php