📄 Intervalos e conjunto solução na reta real
📄 Estudo do sinal de uma expressão do 1º grau
📄 Inequações do 2º grau com duas raízes reais
📄 Raiz dupla e ausência de raízes nas inequações quadráticas
📄 Inequações produto e fatores repetidos
📄 Inequações quociente: sinais e restrições do denominador
📄 Sistemas de inequações e interseção de intervalos
📄 Problemas com inequações: lucro, área e restrições
📄 Exercícios de inequações algébricas com respostas comentadas
Inequações do 2º grau com duas raízes reais
Na inequação do 2º grau, procuramos os trechos onde uma parábola está acima, abaixo ou sobre o eixo horizontal. As raízes são os pontos que separam esses trechos.
Transforme a inequação em uma comparação com zero
Uma inequação do 2º grau pode ser escrita como ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 ou ≤ 0, com a ≠ 0. Se houver termos dos dois lados, passe todos para o mesmo lado. Depois, estude o sinal da função quadrática correspondente.
Exemplo — x² − 5x + 6 < 0
Queremos saber onde a parábola y = x² − 5x + 6 fica abaixo do eixo x. Primeiro encontramos os zeros: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Portanto, as raízes são 2 e 3.
| Expressão | x < 2 | 2 | 2 < x < 3 | 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 | + | 0 | − | 0 | + |
Leia o sinal pedido
- O enunciado pede < 0: selecionamos a coluna com sinal negativo.
- Isso ocorre para 2 < x < 3. As raízes não entram, pois nelas o valor é zero.
- S = (2, 3).
E se o enunciado fosse ≤ 0 ou > 0?
Para x² − 5x + 6 ≤ 0, o intervalo continua o mesmo, mas incluímos as raízes: S = [2, 3]. Para x² − 5x + 6 > 0, escolhemos os dois intervalos positivos: S = (−∞, 2) ∪ (3, +∞).
Exemplo com concavidade para baixo
Resolva −x² + x + 6 ≥ 0. Os zeros são −2 e 3, pois −x² + x + 6 = −(x + 2)(x − 3). Como o coeficiente de x² é negativo, a concavidade é para baixo.
| Expressão | x < -2 | -2 | -2 < x < 3 | 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| −x² + x + 6 | − | 0 | + | 0 | − |
Não decore apenas “dentro” e “fora”
Primeiro confira a concavidade e o sinal pedido. Com duas raízes distintas, o sinal fora delas é o mesmo do coeficiente a; entre elas, é o oposto. As raízes só entram se houver igualdade na comparação.
