📄 Intervalos e conjunto solução na reta real
📄 Estudo do sinal de uma expressão do 1º grau
📄 Inequações do 2º grau com duas raízes reais
📄 Raiz dupla e ausência de raízes nas inequações quadráticas
📄 Inequações produto e fatores repetidos
📄 Inequações quociente: sinais e restrições do denominador
📄 Sistemas de inequações e interseção de intervalos
📄 Problemas com inequações: lucro, área e restrições
📄 Exercícios de inequações algébricas com respostas comentadas
Inequações quociente: sinais e restrições do denominador
Nas inequações com frações, combinar os sinais não basta: precisamos excluir todos os valores que anulam o denominador da expressão original.
Primeiro: o denominador não pode ser zero
Uma fração algébrica só existe quando seu denominador é diferente de zero. Essa restrição vale mesmo quando o enunciado permite igualdade e mesmo que um fator possa ser cancelado.
Exemplo — ≥ 0
O numerador zera em 1. O denominador zera em −2, então x ≠ −2. Incluímos os dois pontos no quadro, mas eles têm papéis diferentes: em 1 a fração vale zero; em −2 ela não existe.
| Expressão | x < -2 | -2 | -2 < x < 1 | 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| x − 1 | − | − | − | 0 | + |
| x + 2 | − | 0 | + | + | + |
| Quociente | + | não existe | − | 0 | + |
Selecione a solução
- Queremos quociente positivo ou zero: x < −2 ou x ≥ 1.
- O valor −2 fica sempre fora, pois anula o denominador.
- O valor 1 entra, pois a fração existe e vale zero.
Mesmo fator no numerador e no denominador
Resolva > 0. O domínio original exige x ≠ 1. Para os valores permitidos, podemos simplificar o fator x − 1 e resolver x + 2 > 0. Isso dá x > −2, mas a restrição não desaparece.
Quando há uma expressão dos dois lados
Resolva > 2. Primeiro anotamos x ≠ 1. Depois, subtraímos 2 e colocamos tudo no mesmo denominador:
| Expressão | x < 1 | 1 | 1 < x < 2 | 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 − x | + | + | + | 0 | − |
| x − 1 | − | 0 | + | + | + |
| Quociente | − | não existe | + | 0 | − |
Por que não multiplicar direto por x − 1?
O denominador pode ser positivo ou negativo. Multiplicar por ele sem separar os casos pode exigir uma inversão de sinal que passaria despercebida. Comparar a fração com zero e estudar os sinais evita esse erro.
