Problemas com inequações: lucro, área e restrições

Uma solução algébrica pode conter valores que não fazem sentido no problema. Vamos combinar o estudo de sinais com a interpretação da variável, das unidades e dos limites do contexto.

Traduza o enunciado antes de calcular

“Pelo menos” indica ≥; “no máximo”, ≤; “mais que”, >; “menos que”, <. Depois de resolver, confira se o contexto permite números negativos, frações ou apenas inteiros.

Exemplo — lucro positivo

Uma empresa modela seu lucro, em reais, por L(x) = −x² + 12x − 20, em que x representa o número de unidades vendidas. Para quais quantidades inteiras o lucro é positivo? Considere esse modelo válido para x entre 0 e 12.

Da expressão ao contexto

Queremos L(x) > 0, e não L(x) = 0.
Os zeros são 2 e 10, pois L(x) = −(x − 2)(x − 10).
A concavidade é para baixo: o lucro é positivo para 2 < x < 10.
Como x conta unidades inteiras, as quantidades são 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Nos extremos 2 e 10, o lucro é zero.

O trecho acima do eixo corresponde ao lucro positivo. No problema, selecionamos somente as abscissas inteiras nesse trecho.

Exemplo — área mínima de um terreno

Um terreno retangular tem comprimento 3 m maior que a largura. Chamando a largura de x metros, determine as larguras que produzem área de pelo menos 40 m².

Use também a restrição física

As dimensões são x e x + 3, com x > 0.
A área mínima exige x(x + 3) ≥ 40. Passando tudo para a esquerda: x² + 3x − 40 ≥ 0.
Fatoramos: (x + 8)(x − 5) ≥ 0. A solução algébrica é x ≤ −8 ou x ≥ 5.
Larguras negativas não são possíveis. Intersectando com x > 0, obtemos x ≥ 5 m.
Conferência no limite: largura 5 m e comprimento 8 m dão exatamente 40 m².

Solução no contexto: x ≥ 5. A parte negativa da solução algébrica é descartada.

Um roteiro para conferir a resposta

Declare o significado da variável e sua unidade.
Anote as restrições do contexto e do denominador, se houver.
Escreva a inequação e resolva o estudo de sinais.
Aplique as restrições ao resultado e confira os extremos.
Responda com a unidade e o tipo de valor pedido: real ou inteiro.

Próximo: Exercícios de inequações algébricas com respostas comentadas

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Como referenciar: "Inequações algébricas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 02/11/2026 às 04:23. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/inequacoes-algebricas/inequacoes9.php