📄 Domínio da função racional: valores permitidos e proibidos
📄 Função inversamente proporcional: f(x) = k dividido por x
📄 Assíntotas verticais e horizontais: interpretação visual
📄 Deslocamentos da hipérbole: centro e assíntotas
📄 Função racional de 1º grau sobre 1º grau
📄 Fatores cancelados, pontos excluídos e assíntotas
📄 Equações e inequações com funções racionais
📄 Aplicações da função racional: tempo e custo médio
📄 Exercícios de função racional com respostas comentadas
Exercícios de função racional com respostas comentadas
Use as propriedades estudadas para interpretar funções e resolver problemas. Cada exercício define a expressão ou o modelo necessário, e o gabarito explica as restrições que precisam ser mantidas.
Instruções
Nos exercícios algébricos, considere entradas reais. Nos problemas, respeite as unidades e as restrições. Anote o domínio antes de simplificar; preserve valores exatos em frações. As respostas estão recolhidas ao final.
Exercício 1
Determine o domínio real de .
Exercício 2
Determine o domínio real de .
Exercício 3
Determine o domínio real de .
Exercício 4
Para , calcule f(3) e f(−4).
Exercício 5
Uma função tem a forma e satisfaz f(2) = 5. Determine k e f(10).
Exercício 6
Em quais quadrantes está o gráfico de ?
Exercício 7
Determine domínio, imagem e assíntotas de .
Exercício 8
A função foi obtida de . Descreva os deslocamentos.
Exercício 9
Para , encontre as assíntotas.
Exercício 10
Determine os encontros com os eixos do gráfico de .
Exercício 11
Descreva o gráfico e o domínio de .
Exercício 12
A função é uma hipérbole? Explique.
Exercício 13
Resolva, no domínio da função, f(x) = 3 para .
Exercício 14
Resolva = −2 em ℝ.
Exercício 15
Resolva f(x) > 3 para .
Exercício 16
O tempo, em horas, para um percurso de 180 km é t(v) = , com v > 0 em km/h. Qual é o tempo para v = 60?
Exercício 17
No percurso de 180 km, qual velocidade média positiva v dá tempo de no máximo 2,5 h?
Exercício 18
Uma produção tem custo fixo de R$ 400 e custo variável de R$ 10 por unidade. Escreva a função do custo médio M(q), para q inteiro e q ≥ 1.
Exercício 19
Para o custo médio M(q) = 10 + , com q inteiro e q ≥ 1, encontre a quantidade mínima que faz M(q) ≤ 14.
Exercício 20
Determine as entradas proibidas e classifique o comportamento em cada uma para .
Respostas comentadas
Resposta do exercício 1
O denominador zera em 4. Domínio: ℝ ∖ {4}.
Resposta do exercício 2
x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Domínio: ℝ ∖ {−2, 2}.
Resposta do exercício 3
x² + 9 é sempre positivo. Domínio: ℝ.
Resposta do exercício 4
f(3) = 4 e f(−4) = −3. As duas entradas são permitidas.
Resposta do exercício 5
k = 2 · 5 = 10. Assim, f(10) = 1.
Resposta do exercício 6
Com k negativo, entrada e saída têm sinais opostos. Os ramos ficam nos quadrantes II e IV.
Resposta do exercício 7
Domínio: ℝ ∖ {2}; imagem: ℝ ∖ {1}. Assíntota vertical x = 2; horizontal y = 1.
Resposta do exercício 8
Quatro unidades para a esquerda e duas para baixo. As assíntotas ficam em x = −4 e y = −2.
Resposta do exercício 9
Reescrevendo, f(x) = 3 + . Assíntotas: x = 1 e y = 3.
Resposta do exercício 10
Eixo x: 3x + 2 = 0, então x = −, que é permitido. Ponto (−, 0). Eixo y: f(0) = −2. Ponto (0, −2).
Resposta do exercício 11
Para x ≠ 2, a expressão é x + 2. O gráfico é essa reta com ponto excluído em (2, 4). Domínio: ℝ ∖ {2}. Não há assíntota vertical em 2.
Resposta do exercício 12
Não. Para x ≠ −1, a saída é sempre 2. É a reta y = 2 com ponto excluído em (−1, 2).
Resposta do exercício 13
x ≠ 1. Da igualdade x + 1 = 3(x − 1), vem 4 = 2x, logo x = 2. A entrada é permitida.
Resposta do exercício 14
x ≠ 0. Multiplicando por x, temos 6 = −2x. Portanto, x = −3.
Resposta do exercício 15
Domínio: x ≠ 1. Passando tudo para um lado, > 0. O estudo de sinais dá 1 < x < 2. S = (1, 2).
Resposta do exercício 16
t(60) = 3 h.
Resposta do exercício 17
Como v > 0, a condição ≤ 2,5 equivale a 180 ≤ 2,5v. Assim, v ≥ 72 km/h no modelo.
Resposta do exercício 18
O total é 400 + 10q. Dividindo por q: M(q) = 10 + , em reais por unidade.
Resposta do exercício 19
Precisamos de ≤ 4. Como q > 0, temos q ≥ 100. Mínimo: 100 unidades.
Resposta do exercício 20
O domínio exclui 1 e −2. Para entradas permitidas, f(x) = . Em x = 1 há ponto excluído com saída que se aproxima de . Em x = −2 há assíntota vertical.
