📄 Domínio da função racional: valores permitidos e proibidos
📄 Função inversamente proporcional: f(x) = k dividido por x
📄 Assíntotas verticais e horizontais: interpretação visual
📄 Deslocamentos da hipérbole: centro e assíntotas
📄 Função racional de 1º grau sobre 1º grau
📄 Fatores cancelados, pontos excluídos e assíntotas
📄 Equações e inequações com funções racionais
📄 Aplicações da função racional: tempo e custo médio
📄 Exercícios de função racional com respostas comentadas
Fatores cancelados, pontos excluídos e assíntotas
Duas expressões podem coincidir em todas as entradas permitidas e ainda ter domínios diferentes. Vamos mostrar por que o cancelamento de um fator não preenche automaticamente um ponto do gráfico.
Cancelar não apaga a restrição original
Simplifique com o domínio anotado
- O denominador original zera em 1. Portanto, x ≠ 1.
- Fatoramos o numerador: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
- Para x ≠ 1, cancelamos o fator x − 1 e obtemos f(x) = x + 1.
- A fórmula simplificada fornece os mesmos valores nas entradas permitidas, mas 1 continua fora do domínio.
Ponto excluído não é assíntota vertical
Perto de x = 1, temos f(0,99) = 1,99 e f(1,01) = 2,01. A saída se aproxima de um valor finito: há uma descontinuidade removível, também chamada informalmente de “buraco”. Já perto de uma assíntota vertical, as saídas crescem em módulo sem limite, pelo menos de um lado.
O zero da expressão simplificada pode ser permitido
No exemplo, f(−1) = 0 e essa entrada é permitida. Portanto, o gráfico cruza o eixo x em (−1, 0). O valor proibido é 1, não −1. O domínio é ℝ ∖ {1}, e a imagem é ℝ ∖ {2}.
Um ponto excluído e uma assíntota na mesma função
O domínio original exclui 1 e 2. Após cancelar x − 1, temos apenas para as entradas permitidas. Em x = 1, a expressão simplificada tenderia a −2: ali há um ponto excluído. Em x = 2, sobra denominador zero e o numerador vale 3: ali há assíntota vertical.
Zero do denominador exige análise
Nem todo zero do denominador original produz assíntota vertical. Verifique a expressão após a fatoração, mas preserve o domínio original. Um cancelamento parcial também pode deixar um fator no denominador e, nesse caso, ainda haver assíntota.
