📄 Domínio da função racional: valores permitidos e proibidos
📄 Função inversamente proporcional: f(x) = k dividido por x
📄 Assíntotas verticais e horizontais: interpretação visual
📄 Deslocamentos da hipérbole: centro e assíntotas
📄 Função racional de 1º grau sobre 1º grau
📄 Fatores cancelados, pontos excluídos e assíntotas
📄 Equações e inequações com funções racionais
📄 Aplicações da função racional: tempo e custo médio
📄 Exercícios de função racional com respostas comentadas
Função inversamente proporcional: f(x) = k dividido por x
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, seu produto é constante. Vamos relacionar essa propriedade à tabela e aos dois ramos do gráfico.
Produto constante: a marca da proporcionalidade inversa
Na função , consideramos k ≠ 0 e x ≠ 0. Se y é a saída, então xy = k. Ao multiplicar uma entrada por um fator positivo, dividimos a saída pelo mesmo fator.
Exemplo —
- Para x = 2, y = 6; o produto 2 · 6 é 12.
- Para x = 4, y = 3; o produto 4 · 3 também é 12.
- A entrada dobrou e a saída caiu à metade.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 12 dividido por x | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
k positivo: primeiro e terceiro quadrantes
Um quadrante é uma das quatro regiões separadas pelos eixos. O quadrante I fica acima e à direita da origem; o III, abaixo e à esquerda. Com k positivo, a função é decrescente em cada intervalo (−∞, 0) e (0, +∞). Essa afirmação é feita por ramo, sem atravessar o valor proibido 0.
k negativo: segundo e quarto quadrantes
O quadrante II fica acima e à esquerda; o IV, abaixo e à direita. Com k negativo, a função é crescente em cada ramo. Por exemplo, de x = 1 para x = 2, a saída passa de −6 para −3: ela aumenta.
Domínio e imagem
O domínio contém todos os reais, exceto 0. A imagem é o conjunto de saídas que a função produz. Como k é diferente de zero, nunca é zero; por outro lado, toda saída y ≠ 0 pode ser obtida usando x = . Portanto, a imagem também é ℝ ∖ {0}.
E se k = 0?
A expressão vale 0 para x ≠ 0: é uma função constante nesse domínio, e não a hipérbole estudada aqui. Por isso, a condição k ≠ 0 é necessária.
