📄 Domínio da função racional: valores permitidos e proibidos
📄 Função inversamente proporcional: f(x) = k dividido por x
📄 Assíntotas verticais e horizontais: interpretação visual
📄 Deslocamentos da hipérbole: centro e assíntotas
📄 Função racional de 1º grau sobre 1º grau
📄 Fatores cancelados, pontos excluídos e assíntotas
📄 Equações e inequações com funções racionais
📄 Aplicações da função racional: tempo e custo médio
📄 Exercícios de função racional com respostas comentadas
Aplicações da função racional: tempo e custo médio
Vamos usar funções racionais em dois problemas completos: tempo de um percurso fixo e custo médio de produção. Em cada um, a variável, a unidade e o domínio serão definidos antes do cálculo.
Exemplo — velocidade e tempo para um percurso
Um veículo percorre uma distância fixa de 120 km a velocidade média v, em km/h. O tempo t, em horas, é dado por:
No contexto, v > 0. O modelo relaciona velocidade média e tempo total; não pressupõe que o veículo mantenha a mesma velocidade em cada instante.
| v (km/h) | 30 | 40 | 60 | 80 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|
| t (h) | 4 | 3 | 2 | 1,5 | 1 |
Quanto é preciso para levar no máximo 2 h?
- Pedimos t(v) ≤ 2, com v > 0.
- Como v é positivo neste contexto, podemos multiplicar a inequação por v sem inverter o sinal: 120 ≤ 2v.
- Assim, v ≥ 60 km/h no modelo matemático.
- A conclusão descreve a relação entre as grandezas; o enunciado não está determinando limites de trânsito.
Exemplo — custo médio por unidade
Uma produção tem custo fixo de R$ 600 e custo variável de R$ 15 por unidade. Para uma quantidade inteira q ≥ 1, o custo total é C(q) = 600 + 15q. Dividindo pela quantidade, o custo médio M é:
O custo médio cai quando a quantidade aumenta. A parcela fixa é distribuída por mais unidades. A saída se aproxima de R$ 15 por unidade, mas permanece acima desse valor para toda quantidade finita permitida.
Quantas unidades dão custo médio de no máximo R$ 20?
- Resolvemos 15 + ≤ 20, com q inteiro e q ≥ 1.
- Subtraindo 15: ≤ 5. Como q > 0, temos 600 ≤ 5q.
- Portanto, q ≥ 120. A quantidade mínima é 120 unidades.
- Conferência: 15 + = 20.
Domínio algébrico e domínio do problema
A expressão pode aceitar entradas negativas na álgebra e recusá-las no contexto. Velocidade média positiva exige v > 0; quantidade produzida exige valores inteiros q ≥ 1. Anote essas condições antes de interpretar o gráfico.
