📄 Igualdade de números complexos
📄 Conjugado de um número complexo
📄 Adição e subtração de números complexos
📄 Multiplicação e divisão de números complexos
📄 Potências de i: ciclo e cálculo pelo resto
📄 Plano complexo: representação de a + bi
📄 Módulo e argumento de um número complexo
📄 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
📄 Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
📄 Fórmulas de De Moivre: potências e raízes complexas
📄 Exercícios sobre números complexos com respostas comentadas
Igualdade de números complexos
Dois números complexos são iguais quando têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária. Vamos usar essa regra para encontrar valores desconhecidos.
As letras a, b, c e d representam números reais. O símbolo ⇔ significa “se, e somente se”: a igualdade dos complexos equivale às duas igualdades entre suas partes.
Como comparar dois números complexos
- Escreva os dois números na forma a + bi.
- Compare as partes reais.
- Compare os coeficientes de i, isto é, as partes imaginárias. As duas comparações precisam dar igualdade.
Exemplo 1 — encontre x e y
Se (x + 2) + (y − 1)i = 5 + 3i, temos:
- Partes reais: x + 2 = 5, portanto x = 3.
- Partes imaginárias: y − 1 = 3, portanto y = 4.
- Substituindo: (3 + 2) + (4 − 1)i = 5 + 3i.
x = 3 e y = 4.
Exemplo 2 — quando o número é real?
Para z = 7 + (2t − 6)i, com t real, o número será real quando a parte imaginária for zero:
Nesse caso, z = 7 + 0i = 7.
Exemplo 3 — quando é imaginário puro?
Para z = (t − 2) + 5i, precisamos de parte real zero. Assim, t − 2 = 0, ou t = 2. Obtemos z = 5i; como sua parte imaginária é diferente de zero, é imaginário puro.
Zero e imaginário puro
Para um complexo ser zero, as duas partes devem ser zero. Por exemplo, (x − 1) + (y + 2)i = 0 exige x = 1 e y = −2. Nesta seção, chamamos de imaginário puro somente o número com parte real zero e parte imaginária não nula.
