📄 Igualdade de números complexos
📄 Conjugado de um número complexo
📄 Adição e subtração de números complexos
📄 Multiplicação e divisão de números complexos
📄 Potências de i: ciclo e cálculo pelo resto
📄 Plano complexo: representação de a + bi
📄 Módulo e argumento de um número complexo
📄 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
📄 Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
📄 Fórmulas de De Moivre: potências e raízes complexas
📄 Exercícios sobre números complexos com respostas comentadas
Números complexos: unidade imaginária e forma algébrica
Como resolver uma equação cujo quadrado deveria ser negativo? Os números complexos ampliam os reais e permitem responder a essa pergunta.
Por que os números reais não bastam?
Considere a equação x² + 1 = 0. Isolando o quadrado, obtemos x² = −1. Não existe número real cujo quadrado seja negativo: tanto 1² quanto (−1)² são positivos. Portanto, essa equação não tem solução no conjunto dos reais.
Para ampliar esse conjunto, introduzimos a unidade imaginária i, definida pela propriedade:
Assim, x² = −1 tem duas soluções complexas: x = i e x = −i. De fato, (−i)² = i² = −1.
Forma algébrica: z = a + bi
Um número complexo é um número da forma z = a + bi, em que a e b são números reais e i² = −1. A letra z apenas dá um nome ao número.
| Símbolo | O que representa | Em z = 3 + 2i |
|---|---|---|
| a | Parte real, indicada por Re(z). | Re(z) = 3 |
| b | Parte imaginária, indicada por Im(z). | Im(z) = 2 |
| bi | Termo que contém a unidade imaginária. | 2i |
A parte imaginária é um número real
Em z = 3 + 2i, a parte imaginária é 2, e não 2i. Em z = 5 − 4i, a parte real é 5 e a parte imaginária é −4.
Todo real também é complexo
Podemos escrever 7 = 7 + 0i. Portanto, os reais estão contidos nos complexos: ℝ ⊂ ℂ. Se a = 0 e b ≠ 0, o número é chamado de imaginário puro, como 4i ou −2i.
Exemplo — resolva x² + 9 = 0
- Isolamos: x² = −9.
- Como (3i)² = 9i² = −9, uma solução é 3i.
- A outra é −3i, pois (−3i)² também é −9.
Soluções: x = 3i ou x = −3i.
Cuidado com raízes negativas
Para um real positivo r, a raiz quadrada principal de −r é i√r. Não aplique automaticamente √(ab) = √a · √b quando há fatores negativos: por exemplo, √(−1) · √(−1) = i² = −1, enquanto √1 = 1.
