📄 Igualdade de números complexos
📄 Conjugado de um número complexo
📄 Adição e subtração de números complexos
📄 Multiplicação e divisão de números complexos
📄 Potências de i: ciclo e cálculo pelo resto
📄 Plano complexo: representação de a + bi
📄 Módulo e argumento de um número complexo
📄 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
📄 Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
📄 Fórmulas de De Moivre: potências e raízes complexas
📄 Exercícios sobre números complexos com respostas comentadas
Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
Em vez de usar parte real e imaginária, podemos descrever um complexo pelo módulo e pelo argumento. É a mesma posição no plano, escrita de outro modo.
Da forma algébrica para a trigonométrica
Se z = a + bi é não nulo, chamamos seu módulo de r = |z| e escolhemos um argumento θ. Pela trigonometria, a = r cos θ e b = r sen θ. Substituindo:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| r | Módulo, sempre positivo para z ≠ 0. |
| θ | Argumento: ângulo que determina a direção. |
| cos θ e sen θ | Cosseno e seno do mesmo ângulo θ. |
Essa é a forma trigonométrica ou polar. Também podemos abreviar como r cis θ, definindo cis θ = cos θ + i sen θ. Você não precisa usar a abreviação para fazer os cálculos.
Exemplo 1 — escreva 1 + i na forma trigonométrica
- Calcule o módulo: r = √(1² + 1²) = √2.
- O ponto (1, 1) está no primeiro quadrante, com argumento 45°.
- Substitua na forma: z = √2(cos 45° + i sen 45°).
Como voltar à forma algébrica
Calcule o cosseno e o seno e multiplique ambos pelo módulo.
Exemplo 2 — z = 4(cos 30° + i sen 30°)
- Use cos 30° = √3/2 e sen 30° = 1/2.
- Multiplique: z = 4 · √3/2 + i · 4 · 1/2.
z = 2√3 + 2i.
Exemplo 3 — argumento no terceiro quadrante
Para z = −√3 − i, o módulo é 2. O ponto fica no terceiro quadrante, com ângulo de referência 30°. Logo, θ = 180° + 30° = 210° e z = 2(cos 210° + i sen 210°).
Não esqueça o módulo
Em r(cos θ + i sen θ), o fator r multiplica as duas parcelas. O número cos θ + i sen θ, sozinho, tem módulo 1.
