📄 Igualdade de números complexos
📄 Conjugado de um número complexo
📄 Adição e subtração de números complexos
📄 Multiplicação e divisão de números complexos
📄 Potências de i: ciclo e cálculo pelo resto
📄 Plano complexo: representação de a + bi
📄 Módulo e argumento de um número complexo
📄 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
📄 Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
📄 Fórmulas de De Moivre: potências e raízes complexas
📄 Exercícios sobre números complexos com respostas comentadas
Multiplicação e divisão na forma trigonométrica
A forma trigonométrica simplifica produtos e quocientes: as operações com módulos e argumentos seguem regras diferentes, que veremos com números.
Multiplicação: multiplique os módulos e some os argumentos
Considere z₁ = r₁(cos α + i sen α) e z₂ = r₂(cos β + i sen β). Os números r₁ e r₂ são os módulos; α (“alfa”) e β (“beta”) são os argumentos. Então:
Exemplo 1
Se z₁ = 2(cos 30° + i sen 30°) e z₂ = 3(cos 60° + i sen 60°):
- Multiplicamos os módulos: 2 · 3 = 6.
- Somamos os argumentos: 30° + 60° = 90°.
- O produto é 6(cos 90° + i sen 90°).
- Como cos 90° = 0 e sen 90° = 1, obtemos 6i.
Divisão: divida os módulos e subtraia os argumentos
Se z₂ ≠ 0, temos:
Exemplo 2
Divida 8(cos 150° + i sen 150°) por 2(cos 30° + i sen 30°).
- Módulo do quociente: 8 ÷ 2 = 4.
- Argumento: 150° − 30° = 120°.
- Quociente: 4(cos 120° + i sen 120°).
- Como cos 120° = −1/2 e sen 120° = √3/2, o resultado é −2 + 2√3i.
Interpretação geométrica
Multiplicar por um complexo não nulo combina uma mudança de escala e uma rotação. O módulo do fator multiplica as distâncias à origem; seu argumento gira as direções.
Ajuste o argumento, se necessário
Um argumento de −30° pode ser escrito como 330°, somando 360°. Um argumento de 420° pode ser escrito como 60°, subtraindo 360°. O número complexo é o mesmo.
