O que é fatoração?

Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la como uma multiplicação de fatores. A fatoração é o processo inverso da propriedade distributiva e do desenvolvimento dos produtos notáveis.

6x + 12 = 6(x + 2)

À esquerda temos uma soma; à direita, um produto. As duas expressões são equivalentes, pois 6(x + 2) = 6x + 12.

Fatoração e desenvolvimento

Desenvolver(x + 3)² → x² + 6x + 9

Fatorarx² + 6x + 9 → (x + 3)²

A multiplicação permite verificar qualquer fatoração. Se o produto dos fatores reproduzir a expressão original, a fatoração está correta.

Principais casos

Caso	Exemplo	Forma fatorada
Fator comum	4x + 8	4(x + 2)
Agrupamento	ax + ay + bx + by	(a + b)(x + y)
Diferença de quadrados	x² − 25	(x + 5)(x − 5)
Trinômio quadrado perfeito	x² + 6x + 9	(x + 3)²
Trinômio x² + bx + c	x² + 7x + 12	(x + 3)(x + 4)
Diferença de cubos	x³ − 8	(x − 2)(x² + 2x + 4)

Para que serve?

Simplificar expressões e frações algébricas.
Resolver equações usando a propriedade do produto nulo.
Identificar raízes de polinômios.
Facilitar cálculos algébricos e geométricos.

Fatorar completamente: depois de encontrar um primeiro fator, verifique se os fatores restantes ainda podem ser fatorados.

Exemplo

3x² − 27 = 3(x² − 9) = 3(x + 3)(x − 3)

Primeiro colocamos 3 em evidência. Depois, reconhecemos uma diferença de quadrados.

Pratique

Confira pela distributiva: 5(x + 3) = 5x + 15.
Que caso aparece em x² − 16?
Que caso aparece em x² + 10x + 25?
A fatoração 2x + 6 = 2(x + 3) está correta?

Respostas: 1) a igualdade é verdadeira; 2) diferença de quadrados; 3) trinômio quadrado perfeito; 4) sim.

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