Matriz inversa

A matriz inversa de uma matriz quadrada A, representada por A⁻¹, é aquela que, quando multiplicada pela matriz original, resulta na matriz identidade I.

A·A⁻¹=A⁻¹·A=I

A inversa só é definida para matrizes quadradas, mas nem toda matriz quadrada é invertível. Para uma matriz de ordem 2, calculamos primeiro o número ad−bc. Esse número é o determinante de A. Se ele for diferente de zero, a matriz possui inversa; se for zero, a inversa não existe.

Se A=abcd, então A⁻¹=1ad−bcd−b−ca

Exemplo 1 — cálculo da inversa:

Vamos determinar a inversa da matriz A.

A=2153

1º passo: calcular ad−bc.

2·3−1·5=6−5=1

2º passo: trocar de posição os elementos da diagonal principal (2 e 3) e mudar o sinal dos outros dois elementos (1 e 5).

3−1−52

3º passo: multiplicar a matriz obtida por 1/(ad−bc). Como o valor calculado foi 1, os elementos não se alteram.

A⁻¹=113−1−52=3−1−52

Verificação

Para confirmar o resultado, multiplicamos A por A⁻¹. O produto deve ser a matriz identidade I₂.

2153·3−1−52=2·3+1·(−5)2·(−1)+1·25·3+3·(−5)5·(−1)+3·2=1001=I₂

Exemplo 2 — matriz sem inversa:

Considere a matriz:

B=1224

ad−bc=1·4−2·2=4−4=0

Como o resultado é zero, a fórmula exigiria uma divisão por zero, que não existe. Portanto, B não possui matriz inversa.

Propriedades

(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
(A^t)⁻¹=(A⁻¹)^t

A notação A⁻¹ não significa calcular o inverso de cada elemento da matriz.

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Como referenciar: "Matrizes" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 15/10/2026 às 05:12. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes5.php

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