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Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = (aij)m x p  e B = (bij)p x n é a matriz C = (cij) m x n, em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

 

Vamos multiplicar as matrizes para entender como se obtém cada elemento cij:

  • 1ª linha e 1ª coluna

  

  • 1ª linha e 2ª coluna

  

  • 2ª linha e 1ª coluna

  

  • 2ª linha e 2ª coluna

  

Assim, .

Agora observe o que aconteceria se fosse feito o contrário, ou seja, multiplicar B por A:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes :


   

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B (n):

  • Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

  • Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

  • Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
       

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: (A . B) . C = A . (B . C)

b) distributiva em relação à adição: A . (B + C) = A . B + A . C ou (A + B) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0m x n não implica, necessariamente, que A = 0m x n ou B = 0m x n.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . Representamos a matriz inversa por A-1 .  

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Como referenciar: "Matrizes" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2018. Consultado em 16/01/2018 às 13:48. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes4.php