Teorema de Laplace

Pelo Teorema de Laplace, o determinante de uma matriz quadrada é a soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores.

Podemos escolher qualquer linha ou coluna. Para reduzir os cálculos, é conveniente escolher aquela que possui mais zeros.

Expansão pela linha i

det(A)=a_i1C_i1+a_i2C_i2+…+a_inC_in

Expansão pela coluna j

det(A)=a_1jC_1j+a_2jC_2j+…+a_njC_nj

Exemplo resolvido

Calcule o determinante expandindo pela segunda linha:

A=2130−14521

A segunda linha contém os elementos 0, −1 e 4. Logo:

det(A)=0C₂₁+(−1)C₂₂+4C₂₃

Calculamos apenas os cofatores que serão multiplicados por elementos não nulos:

C₂₂=(+1)2351=2−15=−13

C₂₃=(−1)2152=(−1)(−1)=1

Substituindo os cofatores:

det(A)=0+(−1)(−13)+4(1)=13+4=17

Determinantes de ordem superior a 3

Laplace também permite calcular determinantes de ordem 4 ou maior. A expansão reduz um determinante de ordem n a determinantes de ordem n−1, repetindo-se o processo até chegar às ordens 2 ou 3.

Os sinais + e − já estão incluídos nos cofatores. Evite acrescentar outro sinal por conta própria ao fazer a expansão.

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Como referenciar: "Determinantes" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 12/11/2026 às 02:57. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php

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Exemplo resolvido

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