Recíproca do Teorema de Tales

O Teorema de Tales parte do paralelismo para concluir que existem segmentos proporcionais.

Sua recíproca faz o caminho contrário: parte da proporcionalidade para concluir que determinadas retas são paralelas.

segmentos proporcionais ⇒ retas paralelas

No triângulo

No triângulo ABC, considere D pertencente a AB e E pertencente a AC. Se os pontos dividem os lados na mesma razão, então DE é paralela a BC:

ADDB = AEEC ⇒ DE || BC

Exemplo 1: confirmando o paralelismo

Em um triângulo, AD = 4, DB = 6, AE = 6 e EC = 9.

ADDB = 46 = 23

AEEC = 69 = 23

Como as razões são iguais, podemos concluir que DE || BC.

Exemplo 2: quando não são paralelas

Considere AD = 4, DB = 6, AE = 8 e EC = 10.

46 = 23 mas 810 = 45

As razões são diferentes. Portanto, DE não é paralela a BC.

Procedimento

Identifique os segmentos que ocupam posições correspondentes.

Monte as razões mantendo a mesma ordem.

Simplifique ou calcule os produtos cruzados.

Se as razões forem iguais, conclua o paralelismo.

Cuidado: encontrar duas razões iguais ao acaso não é suficiente. Os pontos precisam pertencer às duas transversais ou aos dois lados do triângulo na configuração prevista pelo teorema.

Pratique

AD = 3, DB = 5, AE = 6 e EC = 10. DE é paralela a BC?
AD = 7, DB = 14, AE = 5 e EC = 10. DE é paralela a BC?
AD = 2, AB = 5, AE = 4 e AC = 10. DE é paralela a BC?

Respostas: 1) sim, pois 3/5 = 6/10; 2) sim, pois 7/14 = 5/10; 3) sim, pois 2/5 = 4/10.

Próximo: Aplicações e problemas

Siga o novo Instagram: