Aplicações da semelhança de triângulos

A semelhança de triângulos permite calcular medidas que seriam difíceis ou impossíveis de obter diretamente. Ela é usada para determinar alturas, distâncias, dimensões em plantas e mapas, ampliações e reduções.

☀Exemplo 1: altura pela sombra

No mesmo instante, uma pessoa de 1,60 m projeta uma sombra de 2 m e uma árvore projeta uma sombra de 7,5 m. Qual é a altura da árvore?

Os raios solares chegam com a mesma inclinação. Por isso, o triângulo formado pela pessoa e sua sombra é semelhante ao formado pela árvore e sua sombra.

1,602 = h7,5 ⇒ 2h = 12 ⇒ h = 6 m

📷Exemplo 2: ampliação de fotografia

Uma fotografia mede 12 cm de largura e 8 cm de altura. Ela será ampliada proporcionalmente para ficar com 30 cm de largura. Qual será a nova altura?

3012 = 2,5 ⇒ nova altura = 8 · 2,5 = 20 cm

Se a altura fosse escolhida sem respeitar esse fator, a fotografia ficaria deformada.

📐Exemplo 3: medida inacessível

Em uma construção geométrica, dois triângulos semelhantes apresentam lados correspondentes de 4 m e 6 m. Se outro lado do primeiro triângulo mede 10 m, qual é a medida correspondente no segundo?

64 = x10 ⇒ 4x = 60 ⇒ x = 15 m

Esse procedimento pode ser usado em levantamentos de terrenos e no cálculo indireto de larguras e distâncias.

🗺Exemplo 4: escala de uma planta

Em uma planta na escala 1:50, uma porta é representada com 4 cm de altura. Qual é sua altura real?

A escala 1:50 significa que cada 1 cm do desenho representa 50 cm na realidade.

4 · 50 = 200 cm = 2 m

▣Exemplo 5: perímetro e área

Dois triângulos são semelhantes, e a razão do maior para o menor é 3/2. Se o triângulo menor tem perímetro de 18 cm e área de 32 cm², determine o perímetro e a área do maior.

Os perímetros variam com k e as áreas variam com k²:

P = 18 · 32 = 27 cm

A = 32 · (32)² = 32 · 94 = 72 cm²

◆Exemplo 6: método do espelho

Uma pessoa com olhos a 1,60 m do solo coloca um pequeno espelho no chão. Ela fica a 2 m do espelho e enxerga nele o topo de um prédio situado a 12 m do espelho. Qual é a altura do prédio?

Os triângulos formados são semelhantes. Assim:

1,602 = h12 ⇒ 2h = 19,2 ⇒ h = 9,6 m

Antes de montar a proporção: identifique claramente quais lados são correspondentes e mantenha a mesma ordem nas duas razões. Misturar altura de uma figura com base de outra produz uma proporção incorreta.

Pratique

Uma haste de 1 m projeta uma sombra de 1,5 m. No mesmo instante, uma árvore projeta uma sombra de 9 m. Qual é a altura da árvore?
Uma imagem de 10 cm por 15 cm é ampliada de modo que o lado de 15 cm passe a medir 24 cm. Quanto medirá o outro lado?
Dois triângulos semelhantes têm razão de semelhança 2,5. Se o menor possui perímetro de 16 cm, qual é o perímetro do maior?

Respostas: 1) 6 m; 2) 16 cm; 3) 40 cm.

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Como referenciar: "Semelhança de Polígonos" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 16/10/2026 às 22:06. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/fundam/semelhanca/semelhanca6.php