📄 Polígonos semelhantes e razão de semelhança
📄 Perímetros e áreas de polígonos semelhantes
Perímetros e áreas de polígonos semelhantes
Quando dois polígonos são semelhantes, todas as medidas de comprimento são multiplicadas pelo mesmo fator de escala k. Essa informação permite relacionar também seus perímetros e suas áreas.
Razão entre os perímetros
O perímetro é a soma das medidas dos lados. Se cada lado do segundo polígono mede k vezes o lado correspondente do primeiro, a soma de todos os lados também será multiplicada por k.
No exemplo, o fator de escala é 2. O perímetro também dobra: 24/12 = 2.
Razão entre as áreas
A área envolve duas dimensões. Quando cada medida de comprimento é multiplicada por k, a área é multiplicada por k × k, ou seja, por k².
Assim, se o fator de escala for 2, o perímetro será multiplicado por 2, mas a área será multiplicada por 2² = 4. Se o fator for 3, a área será multiplicada por 3² = 9.
Exemplo 1: descobrindo os lados
Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Um triângulo semelhante tem perímetro de 45 cm. Quais são as medidas de seus lados?
- Perímetro do primeiro triângulo: 3,6 + 6,4 + 8 = 18 cm.
- Razão entre os perímetros: k = 45/18 = 2,5.
- Multiplicamos cada lado por 2,5:
3,6 × 2,5 = 9;
6,4 × 2,5 = 16;
8 × 2,5 = 20.
Resposta: os lados do segundo triângulo medem 9 cm, 16 cm e 20 cm.
Exemplo 2: calculando uma área
Dois polígonos são semelhantes e a razão de semelhança do segundo para o primeiro é 3/2. Se a área do primeiro é 24 cm², qual é a área do segundo?
- A razão entre as áreas é k² = (3/2)² = 9/4.
- A' = 24 × 9/4 = 54.
Resposta: a área do segundo polígono é 54 cm².
Obtendo o fator de escala a partir das áreas
Quando conhecemos a razão entre as áreas e queremos descobrir a razão entre os lados ou entre os perímetros, calculamos a raiz quadrada:
Por exemplo, se a razão entre as áreas é 25/9, então a razão entre os lados e entre os perímetros é .
