Relações métricas: fórmulas e demonstrações

As relações métricas não são fórmulas isoladas para decorar.

Todas surgem da semelhança entre o triângulo original e os dois triângulos menores formados pela altura relativa à hipotenusa.

Relação	Leitura	Uso mais comum
a = m + n	A hipotenusa é a soma das projeções.	Encontrar a parte que falta.
b² = a · n	O quadrado de b é hipotenusa vezes sua projeção.	Calcular b ou n.
c² = a · m	O quadrado de c é hipotenusa vezes sua projeção.	Calcular c ou m.
h² = m · n	O quadrado da altura é o produto das projeções.	Calcular altura ou projeção.
b · c = a · h	Produto dos catetos é hipotenusa vezes altura.	Calcular h usando os três lados.

1. Soma das projeções

O ponto H divide a hipotenusa BC em dois segmentos consecutivos, BH = m e HC = n. Portanto:

BC = BH + HC ⇒ a = m + n

2. Relações dos catetos

Pela semelhança entre o triângulo original e cada triângulo menor, obtemos proporções em que o cateto aparece duas vezes:

c/a = m/c ⇒ c² = a · m

b/a = n/b ⇒ b² = a · n

3. Relação da altura

Os dois triângulos menores também são semelhantes entre si. Comparando seus catetos correspondentes:

h/m = n/h ⇒ h · h = m · n ⇒ h² = m · n

4. Produto dos catetos

A área do triângulo pode ser calculada usando os catetos como base e altura ou usando a hipotenusa como base e h como altura:

Área = (b · c)/2 e Área = (a · h)/2

b · c = a · h

Como Pitágoras aparece

b² + c² = a · n + a · m

b² + c² = a(n + m)

Como n + m = a: b² + c² = a²

Estratégia de estudo: compreenda primeiro o significado das letras no desenho. Depois, leia cada fórmula em palavras. Isso é mais seguro do que tentar memorizar apenas a sequência de símbolos.

Próximo: Como aplicar as relações métricas

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